24-11-2013, 15:45
Buenas y santas
Estoy teniendo una serie de problemas con el tema de matriz de cambio de base, y tengo un ejercicio de parcial que me está volviendo loco.
Para empezar, les dejo el ejercicio.
Encuentra una Base B' tal que T(3,-1,6) = (-3,3,0) sabiendo que B = {(1,0,1),(0,1,1),(-1,0,3)} y \[M_{BB'}=\begin{pmatrix}1 & 3 & -4\\ 0 & -1 & 2\\ 1 & 2 & -2\end{pmatrix}\] es la matriz asociada a la transformación lineal \[T: R^{3} \rightarrow R^3\].
Mi problema mayor está en que no estoy muy seguro sobre como obtener de manera sencilla la matriz de las bases canonicas \[M_{EE'}\].
Por otro lado, cuando lo trato de resolver, ya llegando al final, la matriz \[M_{BB'}\] no es inversible y no puedo obtener un resultado.
Les dejo los pasos de mi ejercicio para que se note por donde la fui llevando.
1) Planteo que:
\[M_{BB'} = (M_{B'})^-1 * M_{EE'} * M_{B}\]
2) Hallo la matriz en las bases canónicas \[M_{EE'}\]
- Sabiendo T(3,-1,6) = (-3,3,0) busco dos canónicos LI con (3,-1,6) y los mandé al núcleo:
T(1,0,0) = (0,0,0)
T(0,1,0) = (0,0,0)
\[\alpha \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix}3\\ -1\\ 6\end{pmatrix}\]
Me queda:
\[\gamma = 1/6z \\\beta = y+1/6z \\\alpha = x-1/2z\]
3) Mi incognita es \[M_{B'}\] así que volviendo a:
\[M_{BB'} = (M_{B'})^-1 * M_{EE'} * M_{B}\]
Paso la inversa de \[(M_{B'})^-1\] multiplicando por derecha:
\[M_{B'}*M_{BB'} = M_{EE'} * M_{B}\]
Y despejo \[M_{BB'}\] multiplicando su inversa por izquierda del otro lado de la igualdad:
\[M_{B'} = M_{EE'} * M_{B}*(M_{BB'})^-1\]
Y el problema está en que \[M_{BB'}=\begin{pmatrix}1 & 3 & -4\\ 0 & -1 & 2\\ 1 & 2 & -2\end{pmatrix}\] no tiene inversa (su determinante es igual a 0).
Hay otra manera de resolver el ejercicio? Están bien sacada la matriz de las bases canónicas?
Cualquier indicio que me puedan dar será agradecido en nombre de la gloria del Imperio Sontaran.
Estoy teniendo una serie de problemas con el tema de matriz de cambio de base, y tengo un ejercicio de parcial que me está volviendo loco.
Para empezar, les dejo el ejercicio.
Encuentra una Base B' tal que T(3,-1,6) = (-3,3,0) sabiendo que B = {(1,0,1),(0,1,1),(-1,0,3)} y \[M_{BB'}=\begin{pmatrix}1 & 3 & -4\\ 0 & -1 & 2\\ 1 & 2 & -2\end{pmatrix}\] es la matriz asociada a la transformación lineal \[T: R^{3} \rightarrow R^3\].
Mi problema mayor está en que no estoy muy seguro sobre como obtener de manera sencilla la matriz de las bases canonicas \[M_{EE'}\].
Por otro lado, cuando lo trato de resolver, ya llegando al final, la matriz \[M_{BB'}\] no es inversible y no puedo obtener un resultado.
Les dejo los pasos de mi ejercicio para que se note por donde la fui llevando.
1) Planteo que:
\[M_{BB'} = (M_{B'})^-1 * M_{EE'} * M_{B}\]
2) Hallo la matriz en las bases canónicas \[M_{EE'}\]
- Sabiendo T(3,-1,6) = (-3,3,0) busco dos canónicos LI con (3,-1,6) y los mandé al núcleo:
T(1,0,0) = (0,0,0)
T(0,1,0) = (0,0,0)
\[\alpha \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix}3\\ -1\\ 6\end{pmatrix}\]
Me queda:
\[\gamma = 1/6z \\\beta = y+1/6z \\\alpha = x-1/2z\]
3) Mi incognita es \[M_{B'}\] así que volviendo a:
\[M_{BB'} = (M_{B'})^-1 * M_{EE'} * M_{B}\]
Paso la inversa de \[(M_{B'})^-1\] multiplicando por derecha:
\[M_{B'}*M_{BB'} = M_{EE'} * M_{B}\]
Y despejo \[M_{BB'}\] multiplicando su inversa por izquierda del otro lado de la igualdad:
\[M_{B'} = M_{EE'} * M_{B}*(M_{BB'})^-1\]
Y el problema está en que \[M_{BB'}=\begin{pmatrix}1 & 3 & -4\\ 0 & -1 & 2\\ 1 & 2 & -2\end{pmatrix}\] no tiene inversa (su determinante es igual a 0).
Hay otra manera de resolver el ejercicio? Están bien sacada la matriz de las bases canónicas?
Cualquier indicio que me puedan dar será agradecido en nombre de la gloria del Imperio Sontaran.