UTNianos

Saga disculpa que te joda tan seguido, esta es la ultima pregunta que te hago porque rindo mañana, tengo duda con estos 2 ejercicios.
1)Calcular el area de la porcion de cono \[x^{2}+y^{2}=3z^{2}\] interior al cilindro \[x^{2}+y^{2}=4y\] con \[z\geq 0\]
2)Verificar por el teorema de Stokes con el campo \[f=(2x-y,-yz,-y^{2}z)\] sobre la superficie esferica \[x^{2}+y^{2}+3z^{2}=1\] con \[z\geq 0\]

no dije nada xd

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a ver si aprendi bien.

lo pedido es la integral de la superficie del cono encerrada por el cilindro.

lo pedido seria

\[\int ds\] , sobre la region limitada por el cilindro.

podes escribir z , por ser positivo, como la funcion

\[z = \sqrt{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{3}}\]

por definicion sabes que

\[ds = \sqrt{z_{x}^{'}^2+z_{y}^{'}^2+1} \]

\[z_{x}^{'} = \frac{x}{3(\sqrt{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{3}})}\]

\[z_{y}^{'} = \frac{y}{3(\sqrt{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{3}})}\]


trabajando ds.

\[ds = \frac{2}{\sqrt{3}}\]

quedando finalmente

\[\int ds = \frac{2}{\sqrt{3}}\int dA\]

siendo dA el area de la region.

para calcular la region pasamos a polares las coordenadas.

\[x^2+y^2=4y\]
\[r^2 = 4 y\]
\[y = r sen(t)\]
\[r^2 = 4 r sen(t)\]
\[r = 4 sen(t)\]

las restricciones son
\[ 0 < t < \Pi , 0 < r < 4 sen (t)\]


luego

\[\frac{2}{\sqrt{3}}\int_{\frac{\Pi}{2}}^{\frac{-\Pi}{2}}\int_{0}^{4 sen(t)}r dr dt = \frac{8}{\sqrt{3}}\Pi\]

1) conviene parametrizar el cono en forma cartesiana ... de forma vectorial esa parametrizacion se escribe como

\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=\left ( x,y,\sqrt{\frac{x^2+y^2}{3}}}\right )\]

por definicion

\[A=\iint |g'_x\times g'_y|dxdy\]

echas las cuentas

\[|g'_x\times g'_y|=\left|\left (1,0,\frac{x}{\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}} \right )\times\left (1,0,\frac{y}{\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}} \right )\right|=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}\]

tomando polares sobre la region en el plano xy

\[A=\iint |g'_x\times g'_y|dxdy=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}\iint rdrd\theta=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}\mbox{area del circulo}=\frac{8\pi}{\sqrt{3}}\]

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2) como te piden que verifiques el teorema del rotor entonces necesariamente se tiene que cumplir

\[\omega=\oint_{C^+}fds=\iint rot (f)n dA\]

entonces de las condiciones del ejercicio la intereseccion de ambas superficies (plano esfera) genera una curva del tipo

\[C\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=1\\z=0 \end{matrix}\right.\]

verifico el primer termino de la igualdad del teorema, la curva debe ser recorrida en sentido antihorario , una parametrizacion, escrita de forma vectorial que me permite eso es

\[g:R\to R^3/g(t)=(\cos t,\sin t,0)\quad t\in[0,2\pi]\]

luego

\[\omega=\oint fds=\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)dt\]

\[f(g(t))g'(t)=(2\cos t-\sin t,0,0)(-\sin t,\cos t,0)=2\cos t\sin t-\sin^2t\]

finalmente

\[\omega=\int_{0}^{\2\pi}2\cos t\sin t-\sin^2tdt=-\pi\]

para verificar el rotor tomo la normal saliente a la superficie , entonces \[n=(0,0,-1)\] el \[rot=(-2yz+y,0,1)\]

entonces

\[\iint rot(f)ndA=\iint -1 dA=-1\mbox{area del circulo}=-\pi\]

se verifica el teorema del rotor

ahi maik contesto el primero.. tenes dos formas de encarar un mismo ejercicio

(26-11-2013 16:36)Maik escribió: [ -> ]no dije nada xd

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a ver si aprendi bien.

lo pedido es la integral de la superficie del cono encerrada por el cilindro.

lo pedido seria

\[\int ds\] , sobre la region limitada por el cilindro.

podes escribir z , por ser positivo, como la funcion

\[z = \sqrt{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{3}}\]

por definicion sabes que

\[ds = \sqrt{z_{x}^{'}^2+z_{y}^{'}^2+1} \]

\[z_{x}^{'} = \frac{x}{3(\sqrt{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{3}})}\]

\[z_{y}^{'} = \frac{y}{3(\sqrt{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{3}})}\]


trabajando ds.

\[ds = \frac{2}{\sqrt{3}}\]

quedando finalmente

\[\int ds = \frac{2}{\sqrt{3}}\int dA\]

siendo dA el area de la region.

para calcular la region pasamos a polares las coordenadas.

\[x^2+y^2=4y\]
\[r^2 = 4 y\]
\[y = r sen(t)\]
\[r^2 = 4 r sen(t)\]
\[r = 4 sen(t)\]

las restricciones son
\[-\Pi /2 < t < \Pi /2 , 0 < r < 4 sen (t)\]


luego

\[\frac{2}{\sqrt{3}}\int_{\frac{\Pi}{2}}^{\frac{-\Pi}{2}}\int_{0}^{4 sen(t)}r dr dt = \frac{8}{\sqrt{3}}\Pi\]

Te agradezco mucho, el resultado esta bien, lo que no entiendo es de donde sacaste que el angulo va de Pi /2 < t < \Pi /2 ?

\[x^2+y^2=4y\]

completando cuadrados, podes decir que eso es
\[x^2+y^2- 4y = 0\]
\[x^2 + (y-2)^2=4\]
eso es un circulo desplazado con radio en el (2,0), si lo dibujas



tendria que haber dicho que la restriccion es de 0 a pi, error mio ahi lo corrijo. esto pasa porque mi centro sigue siendo el (0,0), si hubiese completado cuadrados yo desplazaba ese centro al (0,2) y la restriccion iba a ser otra (0 a 2pi)

Muchas gracias a los 2. Ya me quedo claro