Hola que tal, veo si te puedo dar una mano.
2)a) si T es no inyectiva => Nu(T) \[\neq \] 0 => dim Nu(T) \[\neq \] 0
entonces intentamos sacar el núcleo y vemos que dimensión tiene según los valores de a. Para sacar el Nu(T) tenés que multiplicar M(T) por (x,y,z) transpuesta (o sea como vector columna) e igualar el resultado a 0; en otras palabras sacar la expresión canónica de la TL e igualar cada término a 0.
Entonces queda: 2x=0 => x=0; y+2z=0 => y=-2z; az=0 => z=0; de ahí podemos concluir que un genérico sería (0,-2,1), entonces queda Nu(T) = gen {(0,-2,1)}
Se puede ver que independientemente del valor de a, el Nu(T) siempre tiene dimension 1 \[\neq \] 0, entonces para cualquier valor de a T es no inyectiva
formalmente la respuesta sería: T es no inyectiva para todo a\[\epsilon \]R (el enunciado no decía, pero por lo general aclaran que a es un real)
b) como M(T) es una matriz triangular superior (por debajo de la diagonal tiene todos ceros) la determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal, que a su vez serán los autovalores. Entonces los autovalores son: 2,1,a.
Con esto podés sacar los subespacios asociados a cada autovalor, que te van a quedar en función de a. Tenés tres casos: a= 2 (el subespacio correspondiente a 2 tiene que ser de dimensión 2, y el correspondiente a 1 de dimensión 1), a= 1 (el subespacio correspondiente a 1 tiene que ser de dimensión 2, y el correspondiente a 2 de dimensión 1), a distinto de 1 y de 2 (tanto 2,1, y a tienen que generar subespacios de dimensión 1 cada uno).
Seguramente hay alguna forma más fácil pero es la que se me ocurre ahora
1)b) si Nu(T) tiene dimensión 2 quiere decir que si tomamos una base de salida cualquiera (en este caso una base de R4, la canonica por ejemplo) dos de los vectores de esa base transformados valen 0, y los otros dos pueden valer lo que quieras, porque dice que halles UNA transformación, hay muchas que cumplen con esa condición.
Entonces: T(1,0,0,0)=0; T(0,1,0,0)=0; T(0,0,1,0)=(1,0,0,0); T(0,0,0,1)=(0,1,0,0) en las dos ultimas pones el vector que quieras, es indistinto, con un 1 y el resto 0 se hace más sencillo.
entonces planteamos un genérico: (x,y,z,w)=alfa(1,0,0,0)+beta(0,1,0,0)+gama(0,0,1,0)+tita(0,0,0,1) y despejas los coeficientes.
Después planteas el genérico de los transformados: T(x,y,z,w)=alfa T(1,0,0,0)+beta T(0,1,0,0)+gama T(0,0,1,0)+tita T(0,0,0,1) = alfa*0+ beta*0+gama(1,0,0,0)+tita(0,1,0,0), reemplazas los coeficientes por lo que calculaste previamente y hacés las multiplicaciones y sumas de vectores, y así encostran la expresión de una TL que cumpla con lo pedido.
a) Te dan un subespacio de dimensión 3 asociado a un autovalor, esto quiere decir que este autovalor, lamda= -3, tiene multiplicidad 3. Como estamos en R4 necesitamos la matriz tiene 4 autovalores, bastaría con agregar un autovalor más al azar, asociarlo a un subespacio cualquiera de dimensión 1 (que sea li con S para que P sea invesible) y de ahí sacas las matriz P. Después sacas P^-1, y queda multiplicar nomás, porque sabemos que M(T)=PDP^-1
Bueno espero que te sea de ayuda, si me equivoco en algo que alguien que sepa me corrija
Suerte!
