UTNianos

Hola! Rindo discreta el lunes, estoy haciendo finales pero me cuesta mucho grupos. Nose si lo dan en la UTN de allá, yo soy de la regional de Rosario.

En fin, mi duda está en el apartado 'c' de éste ejercicio:


(la parte que se ve mal al principio dice "Considere el grupo Z2 y el grupo producto G = Z2 x Z2", donde Z2 es Z sub dos)

Particularmente como demostrar que esos dos grupos son isomorfos (o no lo son).
Se que para esto tengo que buscar una función.. Mi duda es exactamente esa, como buscar esa bendita función?


Y otra duda que tenga, cuando dice "Escriba la tabla de la operación de G" pero NO te da la operación.. Se escribe la tabla como vos quieras? Osea, siempre y cuando no existan repeticiones en las filas y las columnas.

Solo pido que me resuelvan las dudas, no es necesario que me hagan todo el ejercicio (aunque si lo hacen seria genial)

Muchas gracias!

en gral, Zm x Zn es isomorfo a Zmn <=> mcd(n,m) = 1

lo de la operacion comparto tu duda, no dice q operacion es, yo que vos uso la suma de clases y listo, si en el parcial te aparece algo asi vos pregunta te deberian decir

Z2 = {0, 1}

Z2 x Z2 = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

\[\begin{bmatrix}+ & 00 & 01 & 10 & 11\\ 00 & 00 & 01 & 10 & 11\\ 01 & 01 & 00 & 11 & 10\\ 10 & 10 & 11 & 00 & 01\\ 11 & 11 & 10 & 01 & 00\end{bmatrix}\]

b)
identidad (neutro) = 00
00 -> 00
01 -> 01
10 -> 10
11 -> 11

c) Z4 = {0,1,2,3}

\[\begin{bmatrix}+ & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}\]

no son isomorfos por dos cosas

1. la propiedad q te puse, el mcd(2,2) = 2 y no 1 entonces no va a ser isomorfo a Z2.2=Z4
otra es q Z4 es ciclico, la clase del 1 es generadora, Z2xZ2 no es ciclico pues todos sus elementos solo generan al neutro y a si mismos

Z2 y Z4 son los grupos de los modulos de dividir por 2 y por 4 respectivamente bajo la operación de la suma de clases

La operación es el producto cartesiano de elementos de Z(sub)2 el conjunto seria A={0,1} para Z2 y para Z2xZ2 B={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} y de ahi vas operando

a)
* (00) (01) (10) (11)
(00) (00)(01)(10)(11)
(01) (01)(00)(11)(10)
(10) (10)(11)(00)(01)
(11) (11)(10)(01)(00)

b)eso lo sacas de la tabla

c) Z4 seria su conjunto C={0,1,2,3}

+ 0 1 2 3 // si ordenas las columnas y filas se ve que son isomorfos, también podes enumerar 3 o 4 propiedades que se cumplen en ambos por ejemplo el nro de
0 0 1 2 3 // elementos del conjunto, si son ciclicos, etc.
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2

PD: todos los números van con el sombrerito que te muestran en el ejercicio yo no se los puse por que no se como, espero que te sirva viejo.

no son isomorfos che, ademas q compartan algunas propiedades tmp quiere decir q lo sean.
para q sean isomorfos tienen q compartir todas las propiedades.

y para demostrar q son iso tenes q definir una funcion q sea un isomorfismo entre ellos, en este caso no se puede xq no lo son

tenes razón lo que yo no revise son las propiedades pero el tipo no queria que se lo resolviesemos. lo hice a los gomazos

Muchas gracias! por suerte tenía todo el ejercicio bien, y al no encontrar ninguna función biyectiva también había concluido que no eran isomorfos..
Mi duda es esta; aunque te parezca extraño, nosotros NO dimos eso de mcd.. Osea, me refiero a que nunca vimos esa palabrita siquiera, nunca la nombramos en clase y obvio que en el libro está, pero en nuestro programa no..

No hay otra forma de comprobar el isomorfismo que no sea por eso?

Muchas gracias che, son una masa, en 5 minutos me respondieron!

no vieron en ningun lado maximo comun divisor? miercoles!

para ver si son isomorfos vas viendo propiedades, en gral las chequeo en este orden:

1. cantidad de elementos (tienen q tener la misma)
2. si son abelianos
3. si son ciclicos
4. cantidad y cardinal de subgrupos

hay mas pero no me acuerdo

cualquier cosa decinos

eso del MCD y el mcm estan en el programa y algo sumamente basico sino no podes saber que Z2 o Z4 o Z29 o el Z que te pidan. la joda que el profesor/a que tuviste no te lo enseño solo eso.

A ver, creo que no se entendió; conozco, y supongo que mis compañeros tambien, que es el mcd.. En secundaria lo dí! Pero acá, en matemática discreta, la profesora siempre nos hizo saltar los temas o ejemplos que usen el mcd. ¿Por qué? Ni idea.
Cuestión que en el final no voy a saltar con algo que supuestamente "no vimos".

Una última duda; cuando dos grupos son cíclicos? Eso si que ni en el libro está, o capas está con otro nombre..

Muchas gracias! Creo que con esas propiedades ya me las voy a arreglar

un grupo es ciclico cuando tiene al menos 1 elemento generador

un elemento es generador si el subrgrupo que genera es el grupo propiamente dicho

para hallar el subgrupo que genera se opera al elemento con si mismo las veces q sea necesario

por ej en Z4

0 = {0}
1 = {1,2,3,0}
2 = {2,0}
3 = {3,2,1,0}

a = {a, a*a, a*a*a, a*a*a*a, ...} hasta q llegas al neutro

cuando llegas al neutro paras

Cuando es abeliano o mejor dicho cuando presenta generadores, eso es cuando tomas un elemento del conjunto y lo operas con el resto de los elemento, si el conjunto solución te da como resultado el conjunto mismo ese es un generador y por tanto el grupo es ciclico. Es abeliano cuando todos sus elementos son conmutativos.

nono, no lo operas con el resto, lo operas con si mismo

tenes razon ya estoy re limado a esta hora jajajajaj mejor me voy a dormir

No te vuelvas loco con el tema de isomorfismos. Siempre lo que te piden es que demuestres si son isomorfos, pero no te piden que des dicho isomorfismo. Por lo tanto, para fijarte si dos grupos son isomorfos, ambos tienen que tener exactamente las mismas propiedades. Por ej, ser o no ciclicos, tenes la misma cantidad de subgrupos con el mismo orden, etc... Espero serte de ayuda, saludos !!

para demostrar que son isomorfos tenes q definir una funcion o ordenar las tablas de modo que tengan los mismos elementos en el mismo orden y lugar

las propiedades son para demostrar q NO son isomorfos (aunque ayudan para saber si son o no)