para el problema 4
1) tomando coordenadas cilindricas generalizadas
\[g:R^3 \to R^3/g(r,\theta,x)=\left ( x,\frac{r}{\sqrt{2}}\cos\theta,\frac{r}{\sqrt{3}}\sin\theta \right )\quad D_g=\frac{r}{\sqrt{6}}\]
el elipsoide se puede expresar como
\[x^2+r^2=6\]
por simetria, podemos limitarlo al primer octante , y mulptiplicar por 8 entonces la integral a resolver es
\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{.\sqrt{6}}\int_{0}^{\sqrt{6-r^2}}\frac{8}{6}r^3\cos\theta\sin\theta dxdrd\theta=\frac{16}{5}\sqrt{6}\]
verificalo en
wolfram
2) haciendo un cambio de variable
\[\\x=u\\\\ y=\frac{v}{\sqrt{2}}\\\\z=\frac{w}{.\sqrt{3}}\]
el jacobiano de cambio de variable es
\[\left|\frac{.\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|=\frac{1}{\sqrt{6}}\]
con este cambio el elipsoide se transforma en
\[u^2+v^2+w^2=6\]
y la divergencia en
\[div f=\frac{vw}{\sqrt{6}}\]
entonces el flujo sera
\[\varphi=\iiint_V div f\cdot \left|\frac{\partial(x,y,z)}{.\partial(u,v,w)}\right| dV\]
2.1) sin efectuar ningun cambio de coordenadas, tomando el primer octante y multiplicando por 8
\[\varphi=\int_{0}^{\sqrt{6}}\int_{0}^{\sqrt{6-u^2}}\int_{0}^{\sqrt{6-u^2-v^2}}.\frac{8}{6}vw\cdot dwdvdu=\frac{16}{5}\sqrt{6}\]
verificalo en
wolfram
2.2) tomando coordenadas esfericas
\[g:R^3\to R^3/g(r,\theta,w)=(r\cos w\cos\theta,r\cos w\sin\theta,r\sin w)\quad D_g=r^2\cos w\]
el flujo sera
\[\varphi=\iiint_V div f\cdot \left|\frac{.\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\cdot r^2\cos w dV\]
siempre limitando al primer octante, y multiplicando por 8, solo para ahorrar cuentas tenes que resolver
\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\sqrt{6}}\frac{8}{6}r^4.\cos^2w\sin w\sin\theta\cdot drdwd\theta=\frac{16}{5}\sqrt{6}\]
verificalo en
wolfram
3) finalmente de la manera tradicional, dividiendo todo el elipsoide por 6, tomando el cambio
\[\\x=\sqrt{6}r\cos\theta\\\\y=\sqrt{3}r\sin\theta\\\\z=\sqrt{2}.z\]
el jacobiano sera
\[D_g=6.r\]
entonces limitando al primer octante, y multiplicando por 8
\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-r^2}}48\sqrt{6}\sin\theta r^2.z dzdrd\theta=\frac{16}{5}\sqrt{6}\]
verificalo con
wolfram
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