04-02-2014, 16:05
Hola a todos y a todas, me estoy preparando para rendir el final Álgebra y necesito que me den una mano en dos ejercicios...
El primero es de transformaciones lineales (el segundo ejercicio del final del día 6 de Agosto de 2013, tema 1)...
Creo tenerlo hecho bien (lo que hice está en los spoilers correspondientes a cada ítem)... necesitaría que me digan si está bien hecho así el ejercicio.
(1) Dada la transformación lineal \[T: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3/T(x,y,z) = (x+(\beta -1)y+z,\beta x+(\beta -2)y+z,x+y+z)\]:
(1.A) Halle para qué valores de \[\beta \epsilon \mathbb{R}\], si existen, la dimensión del núcleo es 2.
(1.B) Para \[\beta =2\], determine \[\lambda\epsilon \mathbb{R}\] sabiendo que \[(\lambda +3, 4, 5)\] pertenece al conjunto imagen.
El segundo es de autovalores y autovectores... (el tercer ejercicio del final del día 6 de Agosto de 2013, tema 1)
Acá, simplemente, no sé ni por dónde arrancar.
(2) Sea \[A = \begin{pmatrix}h & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\].
(2.A) ¿Para qué valores de \[h\] la matriz \[A\] tiene un autovalor de multiplicidad 2?
(2.B) ¿A es diagonalizable para los valores de \[h\] hallados en el (2.A)?
El primero es de transformaciones lineales (el segundo ejercicio del final del día 6 de Agosto de 2013, tema 1)...
Creo tenerlo hecho bien (lo que hice está en los spoilers correspondientes a cada ítem)... necesitaría que me digan si está bien hecho así el ejercicio.
(1) Dada la transformación lineal \[T: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3/T(x,y,z) = (x+(\beta -1)y+z,\beta x+(\beta -2)y+z,x+y+z)\]:
(1.A) Halle para qué valores de \[\beta \epsilon \mathbb{R}\], si existen, la dimensión del núcleo es 2.
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Lo que hago es aplicar el teorema de las dimensiones, para llegar a que \[dim(Im(T))=1\]. Esto es lo mismo que el rango de la matriz.
Entonces, al llevar la matriz de la transformación a un Gauss-Jordan sólo podré pivotear una única vez... tengo que parar ahí porque no puedo "hacer 1" ningún otro elemento de la matriz.
Veamos...
\[\begin{pmatrix}1 & \beta -1 & 1\\ \beta & \beta -2 & 1\\ {\color{Red} 1} & 1 & 1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}0 & \beta -2 & 0\\ 0 & -2 & 1- \beta\\ {\color{Red} 1} & 1 & 1\end{pmatrix}\]
Ahora, sabiendo que no puedo seguir pivoteando (ya lo hice una vez), llego a que:
\[\begin{matrix}\beta -2 = 0\\-2=0\\ 1-\beta =0\end{matrix}\]
Pero esto es un absurdo: no tiene solución.
Respuesta: No existe \[\beta \epsilon \mathbb{R}\] tal que \[dim(Nu(T))=2\].
Entonces, al llevar la matriz de la transformación a un Gauss-Jordan sólo podré pivotear una única vez... tengo que parar ahí porque no puedo "hacer 1" ningún otro elemento de la matriz.
Veamos...
\[\begin{pmatrix}1 & \beta -1 & 1\\ \beta & \beta -2 & 1\\ {\color{Red} 1} & 1 & 1\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}0 & \beta -2 & 0\\ 0 & -2 & 1- \beta\\ {\color{Red} 1} & 1 & 1\end{pmatrix}\]
Ahora, sabiendo que no puedo seguir pivoteando (ya lo hice una vez), llego a que:
\[\begin{matrix}\beta -2 = 0\\-2=0\\ 1-\beta =0\end{matrix}\]
Pero esto es un absurdo: no tiene solución.
Respuesta: No existe \[\beta \epsilon \mathbb{R}\] tal que \[dim(Nu(T))=2\].
(1.B) Para \[\beta =2\], determine \[\lambda\epsilon \mathbb{R}\] sabiendo que \[(\lambda +3, 4, 5)\] pertenece al conjunto imagen.
Spoiler: Mostrar
Con \[\beta = 2\], la matriz de la transformación lineal queda así: \[M(T) = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\]
Gausseo, y...
\[\begin{pmatrix}{\color{Red} 1} & 1 & 1 & | & \lambda +3\\ 2 & 0 & 1 & | & 4\\ 1 & 1 & 1 & | & 5\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}{\color{Red} 1} & 1 & 1 & | & \lambda +3\\ 0 & -2 & -1 & | & -2 \lambda - 2\\ 0 & 0 & 0 & | & 2-\lambda\end{pmatrix}\]
Entonces, llego a que \[\lambda = 2\].
Gausseo, y...
\[\begin{pmatrix}{\color{Red} 1} & 1 & 1 & | & \lambda +3\\ 2 & 0 & 1 & | & 4\\ 1 & 1 & 1 & | & 5\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}{\color{Red} 1} & 1 & 1 & | & \lambda +3\\ 0 & -2 & -1 & | & -2 \lambda - 2\\ 0 & 0 & 0 & | & 2-\lambda\end{pmatrix}\]
Entonces, llego a que \[\lambda = 2\].
El segundo es de autovalores y autovectores... (el tercer ejercicio del final del día 6 de Agosto de 2013, tema 1)
Acá, simplemente, no sé ni por dónde arrancar.
(2) Sea \[A = \begin{pmatrix}h & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\].
(2.A) ¿Para qué valores de \[h\] la matriz \[A\] tiene un autovalor de multiplicidad 2?
(2.B) ¿A es diagonalizable para los valores de \[h\] hallados en el (2.A)?