UTNianos

Buenas noches! estoy estudiando para el final de análisis I pero estoy un poco estancada con la parte de integrales, y es la siguiente: \[\int (ln x)/(x+1)^2*dx\]

en la guía de trabajos prácticos nos dan la integral y el resultado que debemos llegar, y el resultado de esta integral es: \[R: (X*Ln X)/(X+1)-Ln (X+1)+c\]

desde ya muchas gracias al que pueda ayudarme

\[\int \frac {ln(x)}{(x+1)^2}dx\]

Haciendo por partes, tomamos u=ln (entonces du=1/x dx), y dv=(x+1)^-2 dx (entonces v=-(x+1)^-1)

\[\int \frac {ln(x)}{(x+1)^2}dx=-\frac{ln(x)}{x+1} - \int -\frac{dx}{x.(x+1)}=-\frac{ln(x)}{x+1} + \int \frac{dx}{x.(x+1)}\]

Saquemos las multiplicaciones de abajo por el método de fracciones simples:

\[ \frac{1}{x.(x+1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}\]

\[1=A.(x+1)+B.x \Rightarrow 1=Ax+Bx+A\]

Te queda el sistemita de ecuaciones A+B=0 y A=1, por lo que te queda que B es=-1

Volviendo a la integral que nos importa:

\[ \int \frac{dx}{x.(x+1)} = \int \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} dx = \int \frac{dx}{x}-\int \frac{dx}{x+1} = ln(x)-ln(x+1)\]

Rejuntando todo...


\[\int \frac {ln(x)}{(x+1)^2}dx=-\frac{ln(x)}{x+1} + ln(x)-ln(x+1)\]

Ahora me vas a decir que NO ES LA RESPUESTA. Bueno, fijate de derivar y veras que llegas a la función a integrar. Salud!

Paso el siguiente link, es un motor de cálculo online.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int...Bx%29^2%29

Para acceder a todas las capacidades hay que pagar, pero la versión gratis es muy útil.