UTNianos

Necesito ayuda con este ejercicio: Demostrar que si tres vectores no paralelos a, b y c perteneciente a R3 son linealmente dependiente, entonces aon coplanares. Ojala me puedan ayudar, gracias

Si tres vectores son coplanares (su producto vectorial da el vector nulo) entonces no son LI, podrias inventar un contraejemplo.

Otra forma de demostrarlo es diciendo que teniendo, Por ejemplo los vectores (x1,y1,z1) (x2,y2,z2) (x3,y3,z3)

Para que sean coplanares su determinante debe dar 0, pero si el determinante da 0 quiere decir que no son li

|x1 y1 z1|
|x2 y2 z2| = 0
|x3 y3 z3|


Saludos

Lo que podes hacer es lo siguiente

Sean los vectores del espacio R3 W

\[W=(a,b,c)\]

para que sean coplanares y no paralelos puedo escribir

\[c=a+b\]

luego

\[W=(a,b,a+b)\]

se cumplen las hipotesis del enunciado hay que probar (como te dijeron arriba) que el producto mixto entre ellos es igual a 0 o sea

\[a.(b\times (a+b))=0\]

Demostracion:

\[a.[(b\times a)+\underbrace{(b\times b)}_{=0}]=a.(b\times a)\underbrace{=}_1a.d=0\]

0= vector nulo,

1)ademas el producto cruz entre b y a nos da un vector d el cual es perpendicular a "a" luego por propiedad del producto escalar entre dos vectores perpendiculares

conseguimos lo que se queria probar