Primero realizamos el gráfico
Gráfico de y = ln(x),y = 1-x,x = 0,x = 1,x=2.
Es importante notar que 0 no esta incluido en el área que nos piden
\[0 < x \leq 2\]
Si vemos el gráfico el área nos queda partida en 2 integrales:
\[\int_{0}^{1} 1-x-ln(x) + \int_{1}^{2} ln(x) - 1 + x\]
Acá con lo único que hay que tener cuidado es con el 0. Recuerden que no esta incluido en el Área a calcular y que, por lo tanto hay que usar un limite para aproximarse a su valor.
Esto es importante ya que 0 no pertenece al dominio de ln(x).
Las integrales quedan:
\[\left 2 x-\frac{x^2}{2}-x ln(x) \right|_0^1 \]
Y
\[\left - 2 x +\frac{x^2}{2}+x ln(x) \right|_1^2\]
El único problema a resolver es
\[\lim_{t\rightarrow 0} tln(t)\]
Lo cual es una (famosa) indeterminación \[0*\infty\]
La pasamos a la forma: \[\frac{\infty}{\infty}\]
\[\lim_{t\rightarrow 0} \frac{ln(t)}{\frac{1}{x}} = \frac {\infty}{\infty} \overset{L'H}{\rightarrow}\]
Aplicando L'Hopital queda:
\[\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} \rightarrow \lim_{t\rightarrow 0} \frac{x^2}{-x} \rightarrow \lim_{t\rightarrow 0} -x = 0\]
Evaluando correctamente las integrales anteriores el resultado es
\[ A = 3/2 + 2 ln (2) - 1/2 = 2,386\]