UTNianos

Bueno, aca dejo el último final de Analisis matematico II de febrero.

T1) bla blbaa luego se cumple que

\[\nabla h(x,y)=\nabla f(g(x,y))\nabla g(x,y)\]

en particular nos piden que calculemos \[\nabla f(2,3)\]

entonces

\[\nabla h(1,2)=\nabla f(g(1,2))\nabla g(1,2)\]

\[\nabla h(1,2)=\nabla f(2,3)\nabla g(1,2)\]

el gradiente de f corresponde a una matriz de 1x2 entonces si hago \[\nabla f(2,3)=(a,b)\]

\[\nabla h(1,2)=(a,b)\nabla g(1,2)\]

luego por las hipotesis del enunciado , y calculando el gradiente de g en (1,2) obtenemos

\[(4,6)=(a,b)\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\]

efectuando el producto matricial

\[\\4=2a+b\\6=a+b\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{\nabla f(2,3)=(-2,8)}}\]

---

T2) Agradecimientos a feer esta demostracion esta sacada del apunte que dejo en el foro sobre AM2

Enunciado:

Sea \[f: D \subset R^2\to R^2/f(x,y)=(P(x,y);Q(x,y))\] Un campo vectorial derivable con continuidad en un recinto simplemente conexo. Si f admite función potencial

entonces \[P'_y=Q'_x\]

Demostración:

Por hipótesis ∃U(x,y)/∇U(x,y)= f

=>U'x=P ⋀ U'y=Q

=>P'y=U''xy ⋀ Q'x=U''yx

Como por hipótesis P'y y Q'x son continuas entonces también son continuas U'' xy y U'' yx, entonces por el teorema de Schwanz podemos asegurar que


\[U''_{xy}= U''_{yx}\to P'_y=Q'_x\]

---

E1) por definicion

\[M=\iint_R \delta(x,y) dA\]

pero \[\delta(x,y)=k|y|^2\]

entonces

\[M=\iint_R ky^2 dA\]

las region R corresponde a las ecuaciones

\[\frac{x^2}{3}+y^2=1\quad y=x\]

tomando coordenadas elipticas sobre R

\[g:R^2\to R^2\g(r,\theta)=(\sqrt{3}r\cos\theta,r\sin\theta)\quad |D_g|=\sqrt{3}r\]

obtengo que

\[0<r<1\]

para el angulo solo hay que resolver

\[\sqrt{3}r\cos\theta=r\sin\theta\to \theta=\frac{\pi}{3}\]

entonces

\[M=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}k r^2\sin^2\theta \sqrt{3}r drd\theta\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{M=\frac{1}{96}(9+2\sqrt{3}\pi)k}}\]

---

E2) la curva de forma vectorial corresponde a

\[g:R\to R^3/g(x)=(x,x^2,2-x)\]

comenzando en x=2 y terminando en x=0 , el limite superior es menor que el inferior, por lo tanto multiplicaremos por menos a la integral de linea para darlos vuelta

\[\omega=\int_C fds=-\int_{0}^{2} f(g(x))g'(x)dx\]

\[-\int_{0}^{2} f(g(x))g'(x)dx=-\int_{0}^{2}2x^5+2x^3-2x^2 dx\]

finalmente

\[\boxed{\boxed{\omega=-24}}\]

fisicamente la particula pierde energia cinetica al recorrer la curva dada

---

E3) se cumple la divergencia , ademas que podemos proyectar sobre al plano xz , si hacemos la integral de volumen por una integral doble \[ div f=3\]

\[\varphi=\iint_{P_{xz}} \left ( \int_{-2}^{2}3dy \right ) dxdz=12\underbrace{\iint_{P_{xz}} dxdz}_{\mbox{area del circulo}}\]

\[12 \iint_{P_{xz}} dxdz=12\pi R^2\]

finalemnte

\[\boxed{\boxed{\varphi=48\pi}}\]

---

E4) el polinomio caracteristico de la ED es \[r^2+br+c=0\]

de la solucion general se puede deducir que el polinomio caracteristico de la ED tendra una raiz doble por ende se puede expresar como

\[(r+2)^2=r^2+4r+4\]

de donde deducimos que \[b=c=4\]

solo es reemplazar los valores hallados en

\[y''+by'+cy=4x+4\]

\[y''+4y'+4y=4x+4\]

\[y=y_h+y_p\]

\[y_h\] la tenemos solo hay que determinar la \[y_p\]

propongo

\[y_p=mx+k\]

\[\\y'=m\\ y''=0\]

reemplazando en mi ED obtengo que \[m=1\quad k=0 \to y_p=x\]

entonces

\[y=y_h+y_p=Ae^{-2x}+Bxe^{-2x}+x\]

aplicando las condiciones dadas en el enunciado

\[A=1\quad B=0\]

finalmente la SP es

\[\boxed{\boxed{y=e^{-2x}+x}}\]

---

revisen las cuentas por las dudas

El T2 lo hice tal cual como lo resolviste y me pusieron que faltaba demostracion, no se que onda

Saben que yo en el E3, calcule las tapas y se cancelaban gran parte de las mismas,sin embargo te quedaba 4 pi 4 (el area del ciruclo sobre el xz), porque nadie las incluye?
Obviamente no daba 48pi incluyendo las tapas, sin embrago aprobe "justito" asi que imagino que estaba mal

(25-02-2014 08:58)cincue escribió: [ -> ]El T2 lo hice tal cual como lo resolviste y me pusieron que faltaba demostracion, no se que onda

Mira es textual lo tengo en la carpeta de clases. Deberías haber rompido las pelotas si era solo eso lo que te marcaron para la aprobación porque un compañero puso esa demostración tal cual y se la pusieron bien.

Jarry

asi es cincue, yo puse el planteo como esta en la guia de feer y lo tenia bien.

en el t1


\[\nabla g(x,y) = (xy,x+y) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\]

o no?

(25-02-2014 11:43)Jarry escribió: [ -> ]asi es cincue, yo puse el planteo como esta en la guia de feer y lo tenia bien.

en el t1


\[\nabla g(x,y) = (xy,x+y) = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\]

o no?

nop el gradiente de g es

\[\nabla g(x,y)= \begin{pmatrix}y & x\\ 1 & 1\end{pmatrix}\]

entonces

\[\nabla g(1,2) = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\]

o no?

---

(25-02-2014 10:54)Aoshido escribió: [ -> ]Saben que yo en el E3, calcule las tapas y se cancelaban gran parte de las mismas,sin embargo te quedaba 4 pi 4 (el area del ciruclo sobre el xz), porque nadie las incluye?
Obviamente no daba 48pi incluyendo las tapas, sin embrago aprobe "justito" asi que imagino que estaba mal

pero haciendolo usando definicion de flujo directo deberia dar lo mismo, ahora no entiendo porque no aplicaste divergencia de una, si el enunciado te decia "superficie frontera" ? y no entendi lo que resalte en negrita , igualmente felicidades por aprobar , aunque sea con lo justo , pero 1 menos camino al titulo

El primer teorico no lo hize, el segundo no hice la demostracion y de los practicos solo hize el 2 y el 3. El 3 para sacar las tapas era un quilombo barbaro la integral asi que solo calcule la divergencia y de pedo era asi el ejercicio. Aprobe de casualidad, ni me lo esperaba el 4.

Me quede con bastante bronca por este final, hice bien 2 practicos. El primero teorico regular y el 2do incompleto. El regular en el primero fue por olvidarme que el recinto tenia que ser simplemente conexo.

Me parecio injusto pero el profesor no penso lo mismo desgraciadamente, pero bueno es de gran ayuda que suban estos examenes al foro para ver en que se equivoco uno y prepararse mejor para la proxima ocasion.

(25-02-2014 20:30)EmilianoM escribió: [ -> ]Me parecio injusto pero el profesor no penso lo mismo desgraciadamente, pero bueno es de gran ayuda que suban estos examenes al foro para ver en que se equivoco uno y prepararse mejor para la proxima ocasion.

depende mucho del que como se levanto el que te corrija , algunos pueden tener suerte y justo te corrije un profe que se levanto de buen humor, tuvo un dia excelente, gano la quiniela, llego comodo en auto a campus y tuvo tiempo de tomar su cafe y bueno esta sin animo de bochar a nadie y solo poner como nota minima un 4 ... o tenes la mala suerte que te agarro uno que tuvo un mal dia, se quedo sin auto porque se le quemo el motor, perdio la sube y tuvo que pagar el boleto sin subsidio, no pararon cinco 101 y seis 7, llego con lo justo a campus para el final y no pudo tomar su cafe .. ahi fuiste.

Feer Jarry Me habian corregido mal un practico y con eso aprobaba, como el T1 lo tenia bien y el T2 estaba mal no le di bola segui de largo.. queria saber que tenia el 4 y nada mas. Pero que cagada se la podria haber peleado y sacar mas nota, pero no se si los teoricos suman puntos, como en los parciales no..

E1) Me parece que seria desde PI/4 a PI/2
El resultado me dio K.Raiz(6)/6

(26-02-2014 19:06)anonimail escribió: [ -> ]E1) Me parece que seria desde PI/4 a PI/2
El resultado me dio K.Raiz(6)/6

porque deberia ser de pi/4?? no es una circunferencia , es una elipse, si fuese una circunferencia , entonces si seria pi/4, ademas el calculo analitico que hice me dio pi/3, entiendo que vos lo estas sacando a "ojo", a veces el "ojo" falla

En el E1 cuando ya planteaste la integral doble y remplazaste a y por r.sin(O), de donde sale ese raiz de tres que le agregaste?


EDIT: ya me di cuenta xD

E4) no seria A=1 y B=0?

y'= -2AExp(-2x) + B*(Exp(-2x) - 2xExp(-2x)) + 1

y'(0)= -2A + B + 1 = -1

y(0)= A = 1

-2*1 + B + 1 = -1 => -2 + B = -2 => B=0