Buenas, estoy medio confundido con este ejercicio, a ver si me pueden ayudar... Dice:
Determine el conjunto de puntos del plano para los cuales f es continua, realice la representación geométrica de la gráfica de f:
\[a)f(x,y)= \sqrt{4-x^2-y^2} \ \ si \ y\leq 0 \ \ \wedge \ \ x^2 + y^2 \leq 4 \ , \\ f(x,y)= 0 \ \forall \ otro (x,y)\]
Gracias!
Df= R^2
Una esfera para z>= 0, y<=0.
Una recta z=0 para todo los demás (x,y) pertenecientes a r^2.
hay que probar que f(x,y) es continua para todos los puntos definidos por las restricciones
\[y\leq 0 \wedge x^2+y^2\leq 4\]
o sea es continua tanto en los puntos frontera
analizando por limites en su frontera
\[\\\lim_{(x,y)\to(x,-\sqrt{4-x^2})} \sqrt{4-x^2-y^2}=\\\\=\lim_{(x,y)\to(x,-\sqrt{4-x^2})} \sqrt{4-x^2-(-\sqrt{4-x^2})^2}=\\\\=\lim_{(x,y)\to(x,-\sqrt{4-x^2})} \sqrt{4-4-x^2+x^2}=0\]
por la recta y=0
\[\\\lim_{(x,y)\to(\pm 2,0)} \sqrt{4-x^2-y^2}=0\]
para todos los demas puntos interiores, por el enunciado sabes que
f(x,y)=0
se cumple
1) existe imagen en f(a,b)
2) existe lim f(x,y)
3) lim f(x,y)=f(a,b)
por lo tanto f es continua
Primero que nada gracias por contestar!
Pero hay algo que no estoy entendiendo entonces
...
La respuesta que aparece en la guía es:
R^2 - {(x,0) en R^2 : -2 < x < 2}
(o sea que f es continua para esos puntos)
Ahora igual reviso mejor todo lo que pusieron, por las dudas
Es lo mismo, bah por ahi me explaye demasiado ... lo unico que hay que tomar es la interseccion de las dos curvas que definen el dominio de f(x,y) y te da que cuando
y=0 entonces |x| = 2
luego tenes que analizar
\[\lim_{(x,y)\to (\pm 2,0)} f(x,y)=0\]
pero 2 y -2 son los puntos frontera a los cuales nos acercamos por la recta y=0
y en limite sabes que cuando tome un valor tan pequeño como se quiera no los
llegas a "tocar" entonces podes expresar que f es continua en su dominio
como lo expresa la respuesta en el libro... lo entendes
La función es continua para todo r^2 como dijo Saga. El dominio es todo r^2.
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