UTNianos

Dado:

\[f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & si & x \in Q \\ \\ -1 & si & x \in I \\ \end{array} \right.\]

Demostrar utilizando la definición de límite que \[\lim_{x \to0}\neq 1\]

Mi problema con el límite es que yo entiendo que SÍ es igual a 1; ya que los valores que tienden a 0 son racionales. Esos valores se pueden expresar así:
\[\frac{1}{n} / n \in Z \], suponiendo un n suficientemente grande.

Está bien mi razonamiento? O efectivamente el límite es distinto de 1?

Si tenes clara la definición de límite...graficate esa función y mria que pasa en el entorno de cero (dibujate un delta epsilon para ayudarte)...En su momento lo entendí asi

(19-04-2014 21:27)Santi Aguito escribió: [ -> ]Si tenes clara la definición de límite...graficate esa función y mria que pasa en el entorno de cero (dibujate un delta epsilon para ayudarte)...En su momento lo entendí asi

Pero en el entorno de 0 son todos racionales. O por lo menos yo no conozco números irracionales cercanos al 0. Por ende mi gráfica me queda una constante=1. El 0 es racional.

(1)Entre dos numeros racionales siempre hay un numero racional y (2)entre dos numeros racionales siempre hay un numero irracional.

Demostración (1):
Sean a,b pertenecientes a R.
a<b
a-b<0
1/(a-b)<N (arquitemidad de los numeros reales, para cada numero real existe un numero natural mayor)
1<(a*N-b*N)

Como la diferencia es mayor a 1 existe por lo menos un numero racional entre ambos.

Demostración (2):
a<b
a/(2^(1/2)) < b /(2^(1/2))
Por la propiedad (1)
a/(2^(1/2)) < c < b /(2^(1/2))
a<c * 2 ^(2^(1/2)) < b


Bueno, espero con eso puedas resolver bien el ejercicio.

(19-04-2014 21:43)Elmats escribió: [ -> ]entre dos numeros racionales siempre hay un numero irracional.

Exacto