Creo que más o menos entendí el tema, pero tengo problemas con este ejercicio:
Encontrar la solucion general de la recurrencia: \[a_n_+_2-3a_n_+_1=0\]. Probar lo obtenido usando inducción.
Me llama la atención que los a sean numeros siguientes en lugar de anteriores, (Además de que diga cero en lugar de \[a_n\]), igual intenté resolverlo con el polinomio característico, hice \[0x^2+x-3=0\] y quedó como formula \[a_n=A(3)^n\], después como no sabía que hacer le di valores al n de la formula general y obtuve \[a_1=3A, a_2=9A, a_3=27A, a_4=81A, a_5=243A\] con esos datos probé sacar \[a_1 y a_2\] en la recurrencia que me daba el ejercicio y me quedó que A=0
Y después con la induccion me hice un lio, intenté llegar a la hipotesis desde la tesis y me quedó algo como
\[A(3)^h=(a_n_+_1)/(3A)\]
Y la verdad no sé si es un ejercicio resolvible, ni si voy por buen o mal camino...
Probar la recurrencia por inducción no es fácil, pero para hacerlo tenés que tener en cuenta dos cosas:
- La ecuación de recurrencia
- La solución general de recurrencia
Lo que tenés que demostrar en la inducción es tanto para n-1 como para n+1. Tomá la ecuación de recurrencia y a cada A sub n reemplazalo por el A sub n igualado a la solución general de la recurrencia. Mediante procedimientos algebraicos tenés que llegar a la solución general de recurrencia tanto para n+1 como n-1.
Igual para mí a tu ejercicio le falta algo, ¿condiciones iniciales no tiene?
No, no tiene condiciones iniciales.
Le pregunté a la profesora y me dijo que reemplace el n+2 por n-1 (u otra letra), y el n+1 pasaría a ser n-2. Entonces queda \[a_n_-_1-3a_n_-_2=0\] y creo que la solucion general sería \[a_n=A(3)^n\]
No entendí bien como hacer lo de la induccion
, el parcial de recurrencia ya me lo tomaron y me tocó un ejercicio fácil (me daban la solucion y tenia que obtener la relacion de recurrencia), no sé si me pondrán uno como este en el final.
Hola, el \[a_n\] esta bien es \[a_n=c3^n\] ahora bien se trata de probar por inducción que el \[a_n\] satisface la ecuación \[a_{n+2}-3a_{n+1}=0\] ó
equivalentemente \[a_{n+2}=3a_{n+1}\], para ahorrar cuentas tomemos \[n\geq0\], si querés tomar \[n\geq1\] es lo mismo, ya que n pertenece a los naturales, igualmente
se tiene que cumplir para todo n, solo lo hago para ahorrar cuentas, te dejo a vos verificar este paso.
H) \[n=h \longrightarrow{} a_{h+2}=3a_{h+1}=c3^{h+2}=3c3^{h+1}\]
T) \[n=h+1\longrightarrow{} a_{h+3}=3a_{h+2}=c3^{h+3}=3c3^{h+2}\]
bueno la demostración me parece que salta a la vista ahora.
Se demuestra que para todo n la sucesión \[a_n=c3^n\] cumple \[a_{n+2}-3a_{n+1}=c3^{n+2}-3(c3^{n+1})=0\]
Cita:Le pregunté a la profesora y me dijo que reemplace el n+2 por n-1 (u otra letra), y el n+1 pasaría a ser n-2. Entonces queda y creo que la solucion general sería \[a_{n-1}-3a_{n-2}=0\] y creo que la solucion general seria \[a_n=A(3)^n\]
No entendí bien como hacer lo de la induccion , el parcial de recurrencia ya me lo tomaron y me tocó un ejercicio fácil (me daban la solucion y tenia que obtener la relacion de recurrencia), no sé si me pondrán uno como este en el final.
el procedimiento seria el mismo solo que aca \[n\geq2\]
saludos
ese el punto 1 del tp de discreta? si ese es una gansada, el 3 es el más complicado :whip: y lo tengo que entregar el martes nooooo!
Gracias aoleonsr ^^ aunque la demostración no me sale, todavía me cuesta avivarme de qué hacer en las inducciones (por eso reprobé el parcialito)
braiankb escribió:ese el punto 1 del tp de discreta? si ese es una gansada, el 3 es el más complicado :whip: y lo tengo que entregar el martes nooooo!
No, es un ejercicio del cuadernillo de ejercicios de discreta, el punto 1 de mi tp es el de los sombreros..
Hola
Anirus escribió:Gracias aoleonsr ^^ aunque la demostración no me sale, todavía me cuesta avivarme de qué hacer en las inducciones (por eso reprobé el parcialito)
Un bajon lo de tu parcialito pero bueno, para la gran mayoria no es una materia fácil (me incluyo en esa mayoria
) para tu ejercicio, veamos, por induccion debemos demostrar
que el \[a_n=c3^n\] satisface \[a_{n+2}=3a_{n+1}\]
\[n=0\longrightarrow{a_{0+2}=3_{0+1}}=a_2=3a_1=c3^2=3c3^1=9c=9c\]
paso inductivo
H) \[n=h \longrightarrow{} a_{h+2}=3a_{h+1}=c3^{h+2}=3c3^{h+1}\]
T) \[n=h+1\longrightarrow{} a_{h+3}=3a_{h+2}=c3^{h+3}=3c3^{h+2}\]
D) \[a_{h+3}=c3^{h+3}=c3^{h+2+1}=c3^{h+2}.c3\] por hipótesis
\[=3c3^{h+1}.c3=3c^{h+1+1}=3c3^{h+2}\]
Se demuestra que para todo n la sucesión
\[a_n=c3^n\] cumple \[a_{n+2}-3a_{n+1}=c3^{n+2}-3(c3^{n+1})=0\]
saludos
Gracias, ya lo entendi ^^ desde la hipotesis debería haberme dado cuenta de que \[c3^h^+^2=c3^h^+^1.3\] era verdadero >> pero con inducción aunque tenga todos los datos a la vista me cuesta que se me ocurra como proceder para demostrar (si acá ya estaba practicamente demostrado, imagina en los que son menos obvios xD)
Perdon por haber tardado tanto en responder, vi que habías respondido hace un tiempo pero como estaba intentando entender limite en análisis matemático (sabia calcularlos, pero que me hablaran de epsilon y gamma me confundía) no respondí y después me olvidé ^^'
Hola
Anirus escribió:Gracias, ya lo entendi ^^ desde la hipotesis debería haberme dado cuenta de que \[c3^h^+^2=c3^h^+^1.3\] era verdadero >> pero con inducción aunque tenga todos los datos a la vista me cuesta que se me ocurra como proceder para demostrar (si acá ya estaba practicamente demostrado, imagina en los que son menos obvios xD)
Es todo cuestión de práctica nada mas y poner atención a los datos que tenés, y las propiedades algebraicas conocidas
Cita:Perdon por haber tardado tanto en responder, vi que habías respondido hace un tiempo pero como estaba intentando entender limite en análisis matemático (sabia calcularlos, pero que me hablaran de epsilon y gamma me confundía) no respondí y después me olvidé ^^'
Todo bien Anirius, el temá del epsilon delta, lo entendes si te haces un dibujo y lo analizas detenidamente, básicamente te dice que alrededor del punto \[x_0\] tomamos un entorno (distancia) \[\delta\], que mientras sea mas chico ese entorno, o sea mientras mas te acerces al \[x_0\] el valor del \[\epsilon\] es mas cerca al valor de L no es complicado, igual casi ni te toman límites por definición mas sirve para una demostración pero es bueno que lo tengas en claro
saludos y suerte en la carrera, si hay dudas pss ayudamos en lo que se pueda
