Viendo los infinitesimos en clase, el profe nos mostro la propiedad de que el limite de un infinitesimo por acotada daba otro infinitesimo, pero no entendi muy bien la demostración y no llegue a preguntarle.
Quisiera pedir si alguien que la tenga bien demostrada en su cuaderno o algun apunte me la copie por favor.
Si alguien la quiere demostrar mediante un ejercicio, en el 18 b) de la pag 15 de la guia de Analisis I se pide calcular el lim de x tendiendo a pi de [f(x).senx].
Siendo senx obviamente el infinitesimo y f(x)^2 (al cuadrado)=<9 (quedaria que el modulo de f(x) es igual o menor a 3, y con eso sabemos que la funcion es acotada)
El ejercicio lo tengo hecho, solo quisiera ver como es que se aplica la desmotración.
Saludos
0* 5 = 0
si sen(x) = 0, y lo multiplicas por 9, cuanto te queda?
0 x acotada = otro infinitésimo!!!!
es la frase más recordada de las Cs. Básicas
No recuerdo ni remotamente la demostración, pero se entiende por sentido común.
Si algo se hace cada vez más chico, la única forma de multiplicarlo por algo y que el producto no se haga cada vez más chico es que ese algo se haga cada vez más grande, sin límite.
Si vos sabés que el algo tiene un tope, entonces el producto tarde o temprano se va a hacer tan chico como quieras.
Pasa lo mismo si el algo también se hace cada vez más chico, obviamente.
Eso sale de la definción de limite y el trabajo algebraico con limites: │x-a│< delta => │f(x)-L│< epsilon.
Entonces un limite existe estrictamente sí sucede eso. De ahi por ejemplo una función acotada sería:
│x│<delta => │x^3/(x^2 +1)│< epsilon (x^2) < x^2 +1 => (x^2)/(x^2 +1) < 1
entonces una cota superior sería:
│x│<epsilon
│x│<delta < epsilon.
Espero entiendas la idea, saludos.
Creo que sale por intercalación.
Pensalo así:
sen (x) varía entre -1 y 1. Vale 1 con x= pi/2 y -1 con x=1.5pi
entonces, si tengo una función que es f(x)= sen (pi/2) y otra g(x)= sen (-pi/2), ambas multiplicadas por un infinitésimo dan 0. Como sen(x) está entre esas dos, el resultado también es 0.
En verdad hay que generalizar y meter una f(x) genérica en vez de sen(x)...para más especificidades, better call
Saga 
Para las trigonometrícas te doy un ejemplo también:
│x│< delta => │sen (x) * x│<epsilon.
│sen x│ < x en el entorno de x. Buscalo, sale geometricamente la desigualdad.
│sen (x) * x│<│x * x│< delta^2 < epsilon.
Pedimos un delta pequeño, por ejemplo delta1= 1.
delta< min {epsilon; 1}
Gracias, pude entender con la definicion y lo que planteo Vincent
el truco para mi es que tengas en claro cuando es inifitesimo y cuando una funcion es acotada... con eso... resolves el 85% de las cosas de AM1
Y ojo... que una cosa es entender el ejercicio y otra cosa es entender el tema...
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