UTNianos

Buenas utnianos, como falta poco para el parcial de analisis y estoy practicando como puedo, tengo que sacarme las dudas de estos temas.
Estoy haciendo la guia de analisis, pero como estoy recien repasando polinomios de taylor, algunos ej. me cuestan, como este:

33) Si el polinomio de Taylor de la funcion y=f(x) en un entorno de \[X_{0}\]=2 es:

P(x) = \[(X-2)^{5} + 3(X-2)^{4} + (X-2)^{2} + 1\]

a) Calcular las derivadas de orden 3 y 4 de f en \[X_{0}\]=2
b) Si se sabe que el desarrollo es de orden 7, que puede decirse de las derivadas de orden 6 y 7 de f en \[X_{0}\]=2 ?
c) El desarrollo de Taylor de g(x)= \[ln(f(x))\] alrededor de \[X_{0}\]=2

Primero, partiendo de la definición de polinomio de Taylor:

\[f(x) \approx f(x_{0}) + f'(x_{0})\frac{(x-x_{0})}{1!} + f''(x_{0}) \frac{(x-x_{0})^{2}}{2!} + ... + f^{n}(x_{0}) \frac{(x-x_{0})^{n}}{n!} \]

Siempre empezando de n = 0

Entonces podemos sacar lo siguiente:

a) Solo es fijarse el coeficiente que tienen los terminos elevados a la cuarta y al cubo y multiplicado por el factorial (ojo a esto último), por lo tanto seria:

\[f'''(2) = 0\] (fijate que el termino 3 no esta por lo tanto es 0)

\[f^{IV}(2) = 4! * 3\]

b) Si sabes que el desarrollo en total es de orden 7, fijate que los terminos 6 y 7 no están, lo que significa es que las derivadas de orden 6 y 7 en ese punto son nulas.

c) Para el desarrollo del logaritmo fijate que lo podes hacer vos, pero la idea es que reconozcas cada uno de los terminos y puedas reemplazar tus f(x0), eso es nuevamente mirar tu polinomiio y fijarse los coeficientes

Entonces... cada vez que me aparezcan las derivadas correspondientes a los valores que saque por los coeficientes, reemplazo los valores por los numeros que obtuve?