En el 1 hay que ir de atras para adelante jejej, el punto que nos dan esta en coordeandas (x,y,v) =(1,2,v) para hallar cuanto vale v , reemplazamos los valores de x e y en las ecuaciones de las superficies que definen la recta tangente , de donde hechas las cuentas (x,y,v)=(1,2,1), como no conocemos la funcion f(x,y) el enunciado expresa explicitamente que su plano tangente es ortogonal a la recta dada como interseccion de esas superficies , osea quieren que usemos una aproximacion para f(x,y)
\[C=\left\{\begin{matrix}v+2=-x^2+y^2\\v=x^2 \end{matrix}\right.\]
para hallar el director de la recta tangente , defino
\[C=\left\{\begin{matrix}F(x,y,v)=x^2-y^2+v+2\\\\G(x,y,v)=-x^2+v \end{matrix}\right.\]
el producto vectorial sera
\[\nabla F(1,2,1)\times \nabla G(1,2,1)=(-4,-4,-8)=(1,1,2)\]
con algo de algebra , el plano pedido es \[x+y+2v-5=0\] despejando v
\[v=f(x,y)=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y\]
ahora hallamos z=f(u,v) con los valores de u y v reemplazando en la ecuacion implicita , a ojimetro sacamos que z=1 por ende (u,v,z)=(1,1,1) , defino
\[F(u,v,z)=4uv+z\ln z-4\]
haciendo el gradiente (se puede usar couchy-dini tambien, pero para mi es mas comodo de esta manera, ademas no me lo pide explicitamente , asi que esta a gusto de cada uno) y reemplazando las
coordenadas (u,v,z) queda
\[\nabla F(1,1,1)=(4,4,1)\]
con algo de algebra
\[4u+4v+z-9=0\] despejando z entonces
\[z=F(u,v)=9-4u-4v\]
¿para que todo esto? porque el enunciado nos pide \[h'(A,u)=0\] las funciones son diferenciables en el punto por ende puedo expresar la derivada direccional como
\[h'(A,u)=\nabla h(A) u\]
necesito las parciales de h, la cual esta definida por una composicion de las funciones
\[F(u,v)=9-4u-4v\quad g(x,y)=\left ( \sqrt{x}, \frac{5}{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y\right )\]
de forma matricial
\[\nabla h(1,2)=\nabla F(g(1,2))\cdot \nabla g(1,2)=\nabla F(1,1)\cdot \nabla g(1,2)\]
luego
\[\nabla h(1,2)=(-4\quad -4)\cdot\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} &0 \\\\ -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}=(0,2)\]
el versor que nos piden tiene coordenadas
\[u=(a,b)\]
reemplazando
\[h'(A,u)=(0,2)(a,b)=0\]
por ser u versor se cumple \[a^2+b^2=1\]
queda definido el sistema
\[\\2b=0\\a^2+b^2=1\]
resolviendo, finalmente los versores pedidos son
\[u=\left (1,0)\]
\[u=\left ( -1,0 )\]
Leatex, no sabia que estabas cursando AM2, y por lo menos yo no encontre datos demas en este ejercicio
, eso si , revisen las cuentas