Una consulta, en el E3, no entiendo que es lo q hace Saga al principio:
Cita:como la recta normal pasa por el punto la recta tangente tambien lo hara entonces con la normal sacas el valor de y0 y definis las condiciones iniciales (y' es la pendiente de mi recta tangente)
y(0)=1\quad y'(0)=-2
Por otro lado, al final, una vez que se llega a la solución general, que es lo que procede a hacer a continuacion?
Cita:reemplazando finalmente tenes que la solucion general de la ED es y=A+Be^{-x}-x^2-2x utilizando las condiciones iniciales la curva
pedida es y=-x^2-2x+1
Gracias!
lo que hice fue lo siguiente , el punto por el que pasa la recta normal es \[(0,y_0)\] la ecuacion de la normal es \[2y=2+x\] si reemplazas entonces
\[2y_0=2+0\to y_0=1\] por ende el punto por donde pasa la recta normal , la solucion \[y\] de la ED y la recta tangente es el \[A=(0,1)\] luego necesito saber cuanto vale
la pendiente de mi recta tangente en ese punto , para ello te sirve la recta normal , por observacion o haciendo cuentitas sacas que la pendiente de tu recta tangente es \[m=-2\] entonces
defino las condiciones iniciales
\[y(0)=1\quad y'(0)=-2\]
luego que haces las cuentas una vez hallada la solucion general de la ED \[y\] solo es reemplazar con las condiciones iniciales para hallar los valores de A y B , te queda un sistema de ecuaciones de 2x2, se
entiende ahora ?
Ahora sí, Gracias Saga! Este tema no lo llegue a ver en la cursada y lo estudie por mi cuenta, por eso lo tengo mas flojo q el resto.
Gracias!!!
(22-07-2014 05:29)Saga escribió: [ -> ]ya que estamos........... asi queda de las tres maneras este ejercicio, la facil la recontrarebuscada y la rebuscada 
tomo la parametrizacion de forma vectorial
\[g:R^2\to R^3/g(r,t)=(r\cos t,r\sin t,\sqrt{2-r^2})\]
de donde hallando los vectores elementales
\[\\g'_r=\left(\cos t,\sin t,\frac{-r}{\sqrt{2-r^2}}\right)\\\\ g'_t=(-r\sin t,r\cos t,0)\]
haciendo el producto vectorial
\[g'_r\times g'_t=\left (\frac{r^2\cos t}{\sqrt{2-r^2}},\frac{r^2\sin t}{\sqrt{2-r^2}},r \right )\]
la norma es
\[||g'_r\times g'_t||=\frac{\sqrt{2}r}{\sqrt{2-r^2}}\]
los limites van en funcion de g entonces
\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{2}r}{\sqrt{2-r^2}} drdt=(4-2\sqrt 2)\pi\]
verifiquenlo con wolfram
Saga, cuando calculas la norma, no deberia quedar asi?:
\[\frac{\sqrt{(2x^{2}(x^{2}+1)})}{\sqrt{(2-x^{2}})}\]
O estoy metiendo la pata yo?
no entiendo que hiciste, parametrizaste la superficie como lo hice yo o lo dejaste en cartesianas??
Perdón, cambie la "r" por la "x", pero en realidad tomé el producto vectorial (ya parametrizado) y aplique la norma al vector g'r x g't
Pero me quedó asì...
Otra cosa, cuando continuas resolviendo, y calculas la integral, por que no multiplicas por el jacobiano?
Si sigue sin entenderse lo que pregunto, avisame y lo reformulo.
Gracias!
(26-07-2014 23:10)Elsatrapal escribió: [ -> ] (22-07-2014 05:29)Saga escribió: [ -> ]tomo la parametrizacion de forma vectorial
\[g:R^2\to R^3/g(r,t)=(r\cos t,r\sin t,\sqrt{2-r^2})\]
de donde hallando los vectores elementales
\[\\g'_r=\left(\cos t,\sin t,\frac{-r}{\sqrt{2-r^2}}\right)\\\\ g'_t=(-r\sin t,r\cos t,0)\]
haciendo el producto vectorial
\[g'_r\times g'_t=\left (\frac{r^2\cos t}{\sqrt{2-r^2}},\frac{r^2\sin t}{\sqrt{2-r^2}},r \right )\]
Hasta ahi estamos de acuerdo verdad ????
observa que si aplico la norma al producto vectorial de los elementales, sacando factor comun obtengo
\[\sqrt{\frac{r^4\cos^2t+r^4\sin^2t+r^2(2-r^2)}{2-r^2}}=\sqrt{\frac{r^4(\underbrace{\cos^2 t+\sin^2 t}_{=1})+2r^2-r^4}{2-r^2}}\]
finalmente haciendo las cuentas te queda lo que expuse en mi respuesta anterior
Cita:Saga, cuando calculas la norma, no deberia quedar asi?:
\[\frac{sqrt{(2x^{2}(x^{2}+1)})}{sqrt{(2-x^{2}})}\]
O estoy metiendo la pata yo?
me parece que metiste la pata en alguna cuenta
No se multiplica por el jacobiano porque no estoy haciendo un cambio de coordenadas simplemente estoy haciendo una parametrizacion de la superficie , la diferencia con un cambio de coordenadas
es el espacio de salida y llegada, cuando haces el cambio de coordenadas, ya sea polares cilindricas parabolicas baricentricas esfericas etc etc...
entonces el espacio de salida coincide con el
espacio de llegada, SIEMPRE, y cada cambio tendra asociado un jacobiano
En cambio cuando es una parametrizacion escrita de forma vectorial ,
el espacio de salida es distinto al de llegada SIEMPRE..... y no hay que multiplicar por ningun jacobiano, solo hacer las
cuentas respectivas , la parametrizacion "magicamente" ya hace todos esos pasos que santi aguito hizo en su respuesta
Se entiende ?
Si, evidentemente le habia pifiado, que nabo, y eso que lo revise varias veces pero desde un paso posterior al q habia cometido el error
Por otro lado, porque no multiplicas por el jacobiano al realizar la integral? Yo lo multiplico y llego a un resultado bastante feo, así que evidentemente es como lo resolviste vos, pero no me queda claro porq no multiplicas por el jacobiano ® ?
No se multiplica por el jacobiano porque no estoy haciendo un cambio de coordenadas simplemente estoy haciendo una parametrizacion de la superficie , la diferencia con un cambio de coordenadas
es el espacio de salida y llegada, cuando haces el cambio de coordenadas, ya sea polares cilindricas parabolicas baricentricas esfericas etc etc... entonces
el espacio de salida coincide con el espacio de llegada, SIEMPRE, y cada cambio tendra asociado un jacobiano
En cambio cuando es una parametrizacion escrita de forma vectorial , el espacio de salida es distinto al de llegada SIEMPRE..... y no hay que multiplicar por ningun jacobiano,
solo hacer las cuentas respectivas , la parametrizacion "magicamente" ya hace todos esos pasos que santi aguito hizo en su respuesta
Se entiende
Perfecto, muchas gracias Saga!!!
Muy buen aporte!
Pregunta, en el T2, si el ángulo va de 0 a pi/2 , dsps X no tendría que estar entre 1 y 2. Osea no habría que calcular solamente el area de 1/4 de circunferencia?
En realidad la integral esta evaluada tomando como referencia el origen de coordenadas, estas de acuerdo que la ecuacion del cilindro es
\[x^2+y^2=2x\]
de donde despejando y se puede concluir que
\[0<y<\sqrt{2x-x^2}\]
de donde por transitividad
\[0<\sqrt{2x-x^2}\to 2x-x^2>0\to x(2-x)>0\]
al estar en el primer cuadrante \[x>0\] para que se cumpla la desigualdad \[2-x>0\to x<2\] finalmente \[0< x<2\]
la forma mas adecuada de expresar la integral en cartesianas, y se "adapte" al ejercicio seria
\[\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{2x-x^2}}x^2+y^2 dydx=\frac{3}{4}\pi \approx 2.35619\]
por otro lado si completo cuadrados, en cartesianas tenes que
\[0<y<\sqrt{1-(x-1)^2}\]
de donde por transitividad
\[0<\sqrt{1-(x-1)^2}\to 0<1-(x-1)^2\to (x-1)<1\to x<2\]
ahhhhhhhhhhhh ahi la entendí. Muchas gracias! sos crack.
genial
suerte para todos los que se presenten al final de estas fechas
Les queria hacer una aclaracion al respecto, porque me lo preguntaron, respecto a este comentario que hice
Cita:En cambio cuando es una parametrizacion escrita de forma vectorial , el espacio de salida es distinto al de llegada SIEMPRE..... y no hay que multiplicar por ningun jacobiano
eso pasa siempre y cuando en la parametrizacion escrita de forma vectorial, no esten involucrados senos y cosenos , ahora si tomo la siguiente paramerizacion
\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,\sqrt{6-x^2-y^2})\]
observaran que esta todo en funcion de x e y , osea sigue en cartesianas ... hallando los elementales , haciendo el producto vectorial y las respectivas cuentas
\[||g'_x\times g'_y||=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-x^2-y^2}}\]
en funcion de la parametrizacion que elegi entonces la region R esta definida como
\[R=\left \{ x\in R^2 / x^2+y^2\leq 1 \right \}\]
si voy a tomar coordenadas polares , entonces SI tengo que multiplicar por el jacobiano y queda la integral
\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-\rho^2}}\rho d\rho d\theta=(4-2\sqrt{2})\pi\]
espero se haya entendido
(24-07-2014 23:27)Saga escribió: [ -> ]necesito saber cuanto vale la pendiente de mi recta tangente en ese punto , para ello te sirve la recta normal , por observacion o haciendo cuentitas sacas que la pendiente de tu recta tangente es \[m=-2\] entonces
defino las condiciones iniciales
\[y(0)=1\quad y'(0)=-2\]
Hola, no puedo llegar a ver como se llega a y'(0)=-2
Mi pendiente no es el número que acompaña a X? y= 1 + x/2 => m = 1/2 ?
Gracias desde ya!!!!