UTNianos

Hola, vengo a decirles que el ejercicio 4b del Parcial de Matemática Discreta del día 14/7/14 del T.M. , tema 2, pedía:

Probar por inducción que para n>0 la derivada de f(x)=x.n es f'(x)=n.x^(n-1)

BASE INDUCTIVA:

Para n=1:

d/dx(x^n)= n.x^(n-1)
d/dx(x^1)= (1).x^(1-1)
d/dx(x)= x^(0)
d/dx(x)= 1

PASO INDUCTIVO:

HIPÓTESIS INDUCTIVA: Para n=h

d/dx(x^h)=h.x^(h-1)

TESIS INDUCTIVA: Para n=h+1

d/dx(x^(h+1))=(h+1)x^(h+1-1)
d/dx(x^(h+1))=(h+1).x^(h)

DEDUCCIÓN:

Vamos a trabajar con la tesis (en esta involucraremos a la hipótesis), recordando que x^(h+1) = (x^(h))*(x), esto lo sustituiremos:

d/dx(x^(h+1)) = d/dx[(x^(h)) * (x)], Esto es un producto, Osea que es la derivada del producto:

=d/dx [(x^(h)] * (x) + [x^(h)] * d/dx [x]

Nota que aparece en esa expresión la derivada de x^(h), pero por la hipótesis de inducción sabemos que:

d/dx(x^h)=h.x^(h-1),

y también de n=1 sabemos que:

d/dx(x)=1;

sustituyéndolo:

=h * (x^(h-1)) * x + x^(h)*(1), aplicando leyes de los exponentes y reagrupando:

=h* (x^(h)) * x * (x^(-1)) + x^(h)

=h*(x^(h)) + x^(h), factorizando x^(h):

=(x^(h)) * ( 1 + h )

= (h+1) . (x^(h)) Es la tesis!


DESGRACIADAMENTE A MI NO ME SALIO EN EL MOMENTO DEL PARCIAL, PERO DESPUÉS DE TODO NO RESULTA TAN COMPLICADO, SOLO HAY QUE SABER BIEN QUE EN LA DEDUCCIÓN TENES QUE HACER LA DERIVADA DEL PRODUCTO; ES UNA VARIANTE MAS QUE LOS PROBLEMAS COMUNES DE INDUCCIÓN, PERO NADA DEL OTRO MUNDO

¿Esto tomaron en Discretas? Son muy ocurrentes realmente. Si no tenes un master en matemáticas, no te sacas un 10 ni ahí ._.