Tengo estos dos limites que no pude resolver hasta ahora:
\[1) \lim_{x\rightarrow 0} \left (\cos^3x-5\sin^2x-1)/(\cos^3x-1)\]
\[2) \lim_{x\rightarrow 0} \left (1 - \cos x)/(1-\cos \sqrt(x)) \]
En el ultimo puse elevado a la 1/2 porque no sabia como poner raiz de x, perdon no manejo muy bien el editor
espero que me sepan entender y desde ya gracias
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1)para el hay que hacer un cambio de variable
\[u=\cos x\quad x= ar\ cos u \quad x\to 0\quad u\to 1\]
ademas que
\[\sin (ar\cos u)=\sqrt{1-u^2}\]
entonces tenes que resolver
\[\lim_{u\to 1}\frac{u^3-5(\sqrt{1-u^2})^2-1}{u^3-1}=\lim_{u\to 1}\frac{(u^3-1)-5(1-u^2)}{u^3-1}=\]
luego por diferencia de cubos y de cuadrados , un poco de factoreo, obtenes que
\[\lim_{x\to 0}\frac{\cos^3x-5\sin^2x-1}{\cos^3x -1}=\frac{13}{3}\]
el segundo no entiendo si el elevado a 1/2 afecta a todo el denominador o solo a la funcion coseno
Gracias ! en el segundo la raiz abarca solo a la x, ahi lo intente corregir, fijate si lo entendes, sino no hay problema
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Si se entiende , tambien podes usar un cambio de variable
\[u^2=x\quad x\to 0\quad u\to 0\]
entonces
\[\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos (u^2)}{1-\cos u}\]
por teoria de infinitesimos
\[1-\cos (u^2)\approx \frac{u^4}{2} \Leftrightarrow u\to 0\]
\[1-\cos u\approx \frac{u^2}{2}\Leftrightarrow u\to 0\]
entonces
\[\lim_{u\to 0}\frac{1-\cos (u^2)}{1-\cos u}=\lim_{u\to 0}\frac{\dfrac{u^4}{2}}{\dfrac{u^2}{2}}=0\]