24-07-2014, 22:02
25-07-2014, 01:24
Les dejo resuelto el del viernes 14/09/2012
1) F, contraejemplo
a) si a=2 entonces
\[\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi x)}{1-x^2}\]
cumple las condiciones del teorema de l'hopital entonces derivando
\[\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi x)}{1-x^2}=\lim_{x\to 1}\frac{\cos(\pi x)\pi}{-2x}=\frac{\pi}{2}\neq 2\]
b) Es F, contraejemplo
tomo la funcion
\[f(x)=(x^2+x^3)^3\]
derivable para todo R por ser una suma de polinomios , si es creciente se cumple \[f'(x)>0\]
derivando f
\[f'(x)=3(x^3+x^2)^2\cdot (3x^2+2x)\]
los puntos criticos son
\[x=-1\quad x=-\frac{2}{3}\quad x=0\]
por el criterio de la primera derivada se determina que
\[\\x<-1\to f'(x)>0\\\\ x\in\left(-1,-\frac{2}{3}\right)\to f'(x)>0\\\\ x\in \left(-\frac{2}{3},0\right)\to f'(x)<0\]
2) el punto en comun donde nos piden todo el calculo es el punto \[A=(-2,y_0)\] , para hallar el y0 simplemente se reemplaza en la ecuacion de la recta normal entonces el punto es
\[A=\left ( -2,\frac{4}{3} \right )\]
como no conocemos la funcion g puedo aproximarla por su recta tangente en ese punto entonces
\[g(x)\approx y(x)=5(x+2)+\frac{4}{3}\]
luego la recta tangente a la composicion esta definida como \[(y-f(g(-2))=y'(x+2)\]
\[f(g(-2))=f\left ( \frac{4}{3} \right )=\ln(5-4)+\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}\]
para hallar la pendiente por regla de la cadena
\[\\y=f(g(-2))\\\\ y'=f'(g(-2))\cdot g'(-2)=f'\left ( \frac{4}{3} \right )\cdot g'(-2)\]
derivando y haciendo los reemplazos necesarios
\[y'=f'\left ( \frac{4}{3} \right )\cdot g'(-2)=-\frac{11}{5}\cdot 5=-11\]
finalmente la recta tangente a la composicion tiene ecuacion
\[\left ( y-\frac{5}{3} \right )=-11(x+2)\]
3)
a) el dominio de f sera la interseccion del dominio de la primera rama con la segunda, de la segunda es simple observar que el dominio es todo R
analizando las condiciones de existencia para el dominio
\[3-x=0\to x=3\]
\[1-exp\left({\dfrac{x}{3-x}}\right)=0\to x=0\]
con algo de curso de ingreso se llega a
\[dom f=\left \{ x\in R-\left\{0,3\right\} \right \}\]
b) por definicion , si una funcion es derivable en x=a entonces es continua en a, entonces
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-}f(x)\]
\[\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-} 3-arc tan (x)=3\]
por comodidad en notacion defino
\[h(x)=\frac{x}{3-x}\]
luego
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{-(e^{h(x)}-1)}\]
por teoria de infinitesimos
\[e^{h(x)}-1\approx h(x)\Leftrightarrow x\to 0\]
entonces
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{-(e^{h(x)}-1)}=\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{-h(x)}\]
reemplazando h(x) y operando
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{-h(x)}=\lim_{x\to 0^+}x-3=-3\]
los laterales no son iguales, entonces f no es derivable en x=0
5) los puntos que pertenecen a la curva son de la forma \[P=\left ( \frac{y^2}{2},y \right )\] el punto que nos dan \[A=(-1,-8)\] por definicion de distancia entre dos puntos
\[d^2(y)=\left ( \frac{y^2}{2}+1 \right )^2+(y+8)^2\]
para ahorrar un poco de cuentas defino
\[d^2(y)=f(y)=\left ( \frac{y^2}{2}+1 \right )^2+(y+8)^2\]
siendo f(y) funcion a minimizar , una vez derivada el unico punto critico que presenta es cuando \[y=-2\] utilizando el criterio de la primera derivada, o segunda como mejor les parezca se
concluye que es un minimo
luego la distancia minima al punto pedido sera \[d=\sqrt{45}\]
4) lo pienso un poco
revisen las cuentas por las dudas y avisen si mande fruta en algun lado.gif ";)")
, el otro que queda para otro dia 
1) F, contraejemplo
a) si a=2 entonces
\[\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi x)}{1-x^2}\]
cumple las condiciones del teorema de l'hopital entonces derivando
\[\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi x)}{1-x^2}=\lim_{x\to 1}\frac{\cos(\pi x)\pi}{-2x}=\frac{\pi}{2}\neq 2\]
b) Es F, contraejemplo
tomo la funcion
\[f(x)=(x^2+x^3)^3\]
derivable para todo R por ser una suma de polinomios , si es creciente se cumple \[f'(x)>0\]
derivando f
\[f'(x)=3(x^3+x^2)^2\cdot (3x^2+2x)\]
los puntos criticos son
\[x=-1\quad x=-\frac{2}{3}\quad x=0\]
por el criterio de la primera derivada se determina que
\[\\x<-1\to f'(x)>0\\\\ x\in\left(-1,-\frac{2}{3}\right)\to f'(x)>0\\\\ x\in \left(-\frac{2}{3},0\right)\to f'(x)<0\]
2) el punto en comun donde nos piden todo el calculo es el punto \[A=(-2,y_0)\] , para hallar el y0 simplemente se reemplaza en la ecuacion de la recta normal entonces el punto es
\[A=\left ( -2,\frac{4}{3} \right )\]
como no conocemos la funcion g puedo aproximarla por su recta tangente en ese punto entonces
\[g(x)\approx y(x)=5(x+2)+\frac{4}{3}\]
luego la recta tangente a la composicion esta definida como \[(y-f(g(-2))=y'(x+2)\]
\[f(g(-2))=f\left ( \frac{4}{3} \right )=\ln(5-4)+\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}\]
para hallar la pendiente por regla de la cadena
\[\\y=f(g(-2))\\\\ y'=f'(g(-2))\cdot g'(-2)=f'\left ( \frac{4}{3} \right )\cdot g'(-2)\]
derivando y haciendo los reemplazos necesarios
\[y'=f'\left ( \frac{4}{3} \right )\cdot g'(-2)=-\frac{11}{5}\cdot 5=-11\]
finalmente la recta tangente a la composicion tiene ecuacion
\[\left ( y-\frac{5}{3} \right )=-11(x+2)\]
3)
a) el dominio de f sera la interseccion del dominio de la primera rama con la segunda, de la segunda es simple observar que el dominio es todo R
analizando las condiciones de existencia para el dominio
\[3-x=0\to x=3\]
\[1-exp\left({\dfrac{x}{3-x}}\right)=0\to x=0\]
con algo de curso de ingreso se llega a
\[dom f=\left \{ x\in R-\left\{0,3\right\} \right \}\]
b) por definicion , si una funcion es derivable en x=a entonces es continua en a, entonces
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-}f(x)\]
\[\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-} 3-arc tan (x)=3\]
por comodidad en notacion defino
\[h(x)=\frac{x}{3-x}\]
luego
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{-(e^{h(x)}-1)}\]
por teoria de infinitesimos
\[e^{h(x)}-1\approx h(x)\Leftrightarrow x\to 0\]
entonces
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{-(e^{h(x)}-1)}=\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{-h(x)}\]
reemplazando h(x) y operando
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{-h(x)}=\lim_{x\to 0^+}x-3=-3\]
los laterales no son iguales, entonces f no es derivable en x=0
5) los puntos que pertenecen a la curva son de la forma \[P=\left ( \frac{y^2}{2},y \right )\] el punto que nos dan \[A=(-1,-8)\] por definicion de distancia entre dos puntos
\[d^2(y)=\left ( \frac{y^2}{2}+1 \right )^2+(y+8)^2\]
para ahorrar un poco de cuentas defino
\[d^2(y)=f(y)=\left ( \frac{y^2}{2}+1 \right )^2+(y+8)^2\]
siendo f(y) funcion a minimizar , una vez derivada el unico punto critico que presenta es cuando \[y=-2\] utilizando el criterio de la primera derivada, o segunda como mejor les parezca se
concluye que es un minimo
luego la distancia minima al punto pedido sera \[d=\sqrt{45}\]
4) lo pienso un poco
revisen las cuentas por las dudas y avisen si mande fruta en algun lado
, el otro que queda para otro dia