28-07-2014, 15:20
Hola foreutas (?) Haciendo un par de parciales de AM2 me surgieron unas dudas:
1) Sean \[\Sigma _{1}: 6-x=\sqrt{{y^2} + {z^2}}\] y \[X(u,v)=(v^2,v.cosu,v.senu)\] con \[v \epsilon \mathbb{R}^{+}_{0}\] y \[u \epsilon [0,2\Pi ]\], y sea C la curva intersección de ambas superficies:
a) Definir una función vectorial, cuyo conjunto imagen sea C.
b) Obtener una ecuación para el plano normal a C en Po(4,0,2).
Yo fui haciendo esto: Desparametrizar \[\Sigma _{2}\] , que me da \[y^2+z^2=x\]. Luego si reemplazo eso en la primera superficie, me queda \[6-x = \sqrt{x}\] que despejando, \[x=4\].
Entonces esto lo reemplazo en la primera superficie desparametrizada:
\[C: y^2 + z^2 = 4\] - con esto tengo algunas dudas de si está bien porque haciéndolo de otra forma no me queda.
Ahora el problema es definir la función. Si es una función vectorial debería ser de la forma: \[f(t)=(x(t),y(t),z(t))\]. Yo acá haría que mi x(t)=4, pero para lo demás no se me ocurre nada.
En cuanto al punto b) Yo ya definí que x vale 4, por lo que la curva depende solo de y y de z... ¿Entonces \[f'_{x} = 0\]? ¿O directamente puedo hacerlo calculando el producto vectorial con la normal de ambos?
Duda de un punto teórico:
Sean \[F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} / Po \epsilon \mathbb{R}^n\] y los versores \[\breve{u}, \breve{v} \] y \[\breve{w} \] tales que \[\breve{w} =\alpha \breve{u}+\beta \breve{v}\]. Si \[F'(Po,\breve{u})=a\] y \[F'(Po,\breve{v})=b\], calcular \[F'(Po,\breve{w})\] en función de los datos.
Yo primero planteé lo siguiente:
\[\lim_{\alpha\rightarrow 0} \frac{F(Po+\alpha\breve{u})-F(Po)}{\alpha} = a\]
\[\lim_{\beta\rightarrow 0} \frac{F(Po+\beta\breve{v})-F(Po)}{\beta} = b\]
Entonces
\[\lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(Po+h(\alpha \breve{u}+\beta \breve{v}))-F(Po)}{h} = F'(Po,\breve{w})\]
De ahora en más no sé como seguir, si me dijera que F es diferenciable con el gradiente creo que sale, pero así no tengo idea... espero que alguien pueda ayudar! Saludos
1) Sean \[\Sigma _{1}: 6-x=\sqrt{{y^2} + {z^2}}\] y \[X(u,v)=(v^2,v.cosu,v.senu)\] con \[v \epsilon \mathbb{R}^{+}_{0}\] y \[u \epsilon [0,2\Pi ]\], y sea C la curva intersección de ambas superficies:
a) Definir una función vectorial, cuyo conjunto imagen sea C.
b) Obtener una ecuación para el plano normal a C en Po(4,0,2).
Yo fui haciendo esto: Desparametrizar \[\Sigma _{2}\] , que me da \[y^2+z^2=x\]. Luego si reemplazo eso en la primera superficie, me queda \[6-x = \sqrt{x}\] que despejando, \[x=4\].
Entonces esto lo reemplazo en la primera superficie desparametrizada:
\[C: y^2 + z^2 = 4\] - con esto tengo algunas dudas de si está bien porque haciéndolo de otra forma no me queda.
Ahora el problema es definir la función. Si es una función vectorial debería ser de la forma: \[f(t)=(x(t),y(t),z(t))\]. Yo acá haría que mi x(t)=4, pero para lo demás no se me ocurre nada.
En cuanto al punto b) Yo ya definí que x vale 4, por lo que la curva depende solo de y y de z... ¿Entonces \[f'_{x} = 0\]? ¿O directamente puedo hacerlo calculando el producto vectorial con la normal de ambos?
Duda de un punto teórico:
Sean \[F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} / Po \epsilon \mathbb{R}^n\] y los versores \[\breve{u}, \breve{v} \] y \[\breve{w} \] tales que \[\breve{w} =\alpha \breve{u}+\beta \breve{v}\]. Si \[F'(Po,\breve{u})=a\] y \[F'(Po,\breve{v})=b\], calcular \[F'(Po,\breve{w})\] en función de los datos.
Yo primero planteé lo siguiente:
\[\lim_{\alpha\rightarrow 0} \frac{F(Po+\alpha\breve{u})-F(Po)}{\alpha} = a\]
\[\lim_{\beta\rightarrow 0} \frac{F(Po+\beta\breve{v})-F(Po)}{\beta} = b\]
Entonces
\[\lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(Po+h(\alpha \breve{u}+\beta \breve{v}))-F(Po)}{h} = F'(Po,\breve{w})\]
De ahora en más no sé como seguir, si me dijera que F es diferenciable con el gradiente creo que sale, pero así no tengo idea... espero que alguien pueda ayudar! Saludos
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