03-08-2014, 22:47
Te lo contesto aca por comodidad de uso de latex
Calcule el área de la parte de la superficie definida por \[x^2+y^2+z^2=6z\] que resulta EXTERIOR a \[x^2+y^2=5\]
si completas cuadrados en la esfera
\[x^2+y^2+(z-3)^2=9\]
por definicion de area
\[A=\iint ||g'_u\times g'_v|| dudv\]
una de las infinitas parametrizaciones de la esfera, escrita de forma vectorial es
\[g:R^2\to R^3/ g(w,t)=(3\cos w \cos t, 3\cos w\sin t, 3+3\sin t)\]
de donde
\[||g'_w\times g'_t||=9\cos w\]
esto ultimo tomalo como acto de fe
luego para los limites de integración no hay restricciones angulares en t , ahora veamos en w, evaluando la ecuacion del cilindro en la parametrizacion elegida
\[9\cos^2 w\cos^2 t+9\cos^2w\sin^2t=5\to |\cos w|=\frac{\sqrt{5}}{3}\]
finalmente
\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{-arcos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^{arcos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)} 9\cos w dwdt=24\pi\]
verificalo con wolfram
o también para "ahorrar" en cuentas podes limitarlo a "tu nuevo octante" y multiplicar por 8 porque estas tomando como centro de la esfera en (0,0,3), entonces
\[A=8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{arcos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)} 9\cos w dwdt=24\pi\]
verificalo con wolfram
ahora podes tomar otra parametrización, escrita de forma vectorial queda definida como
\[g:R^2\to R^3/ g(r,t)=(r\cos t, r\sin t,\sqrt{9-r^2}+3)\]
pero no olvides que con esa paramatrización estas tomando el arco positivo de la esfera , entonces para obtener el area total , tenes que multiplicar por dos a la integral de area , hechas las cuentas
\[||g'_r\times g'_t||=\frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}\]
los limites van en funcion de la parametrizacion elegida, no hay restricciones angulares en t, entonces
\[A=2\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{5}}^{3}\frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}drdt=24\pi\]
podes verificar con wolfram
Si fuese INTERIOR entonces, todo el calculo sobre los elementales es el mismo , lo que cambia son los limites de integracion
completando cuadrados y tomando la misma parametrizacion anterior , y para no calcular dos integrales multiplico por dos a la integral de area
\[A=2\int_{0}^{2\pi}\int_{arcos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^{\frac{\pi}{2}} 9\cos w dwdt=12\pi\]
si la limito al "primer nuevo octante" y multiplico por 8
\[A=8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{arcos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^{\frac{\pi}{2}} 9\cos w dwdt=12\pi\]
si tomo la otra parametrizacion y multiplico por 2 a la integral, porque sigue tomando el arco positivo de la esfera
\[A=2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}}\frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}drdt=12\pi\]
Calcule el área de la parte de la superficie definida por \[x^2+y^2+z^2=6z\] que resulta EXTERIOR a \[x^2+y^2=5\]
si completas cuadrados en la esfera
\[x^2+y^2+(z-3)^2=9\]
por definicion de area
\[A=\iint ||g'_u\times g'_v|| dudv\]
una de las infinitas parametrizaciones de la esfera, escrita de forma vectorial es
\[g:R^2\to R^3/ g(w,t)=(3\cos w \cos t, 3\cos w\sin t, 3+3\sin t)\]
de donde
\[||g'_w\times g'_t||=9\cos w\]
esto ultimo tomalo como acto de fe
luego para los limites de integración no hay restricciones angulares en t , ahora veamos en w, evaluando la ecuacion del cilindro en la parametrizacion elegida
\[9\cos^2 w\cos^2 t+9\cos^2w\sin^2t=5\to |\cos w|=\frac{\sqrt{5}}{3}\]
finalmente
\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{-arcos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^{arcos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)} 9\cos w dwdt=24\pi\]
verificalo con wolfram
o también para "ahorrar" en cuentas podes limitarlo a "tu nuevo octante" y multiplicar por 8 porque estas tomando como centro de la esfera en (0,0,3), entonces
\[A=8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{arcos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)} 9\cos w dwdt=24\pi\]
verificalo con wolfram
ahora podes tomar otra parametrización, escrita de forma vectorial queda definida como
\[g:R^2\to R^3/ g(r,t)=(r\cos t, r\sin t,\sqrt{9-r^2}+3)\]
pero no olvides que con esa paramatrización estas tomando el arco positivo de la esfera , entonces para obtener el area total , tenes que multiplicar por dos a la integral de area , hechas las cuentas
\[||g'_r\times g'_t||=\frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}\]
los limites van en funcion de la parametrizacion elegida, no hay restricciones angulares en t, entonces
\[A=2\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{5}}^{3}\frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}drdt=24\pi\]
podes verificar con wolfram
Si fuese INTERIOR entonces, todo el calculo sobre los elementales es el mismo , lo que cambia son los limites de integracion
completando cuadrados y tomando la misma parametrizacion anterior , y para no calcular dos integrales multiplico por dos a la integral de area
\[A=2\int_{0}^{2\pi}\int_{arcos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^{\frac{\pi}{2}} 9\cos w dwdt=12\pi\]
si la limito al "primer nuevo octante" y multiplico por 8
\[A=8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{arcos\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^{\frac{\pi}{2}} 9\cos w dwdt=12\pi\]
si tomo la otra parametrizacion y multiplico por 2 a la integral, porque sigue tomando el arco positivo de la esfera
\[A=2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{5}}\frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}drdt=12\pi\]