Buenas ! Alguien sabe como es esto?? Es un ejercicio de OPTIMIZACION de funciones, el cual no consigo sacar...es del libro de garcia venturini (Analisis I para estudiantes de Ingenieria); si alguno le resulta facil llegar al resultado le agradeceria me explicara!.
PROBLEMA
5) Se desea alambrar un campo rectangular limitado por un rio en uno de sus lados. Si la longitud del alambre es de 1500 mts, determinar las dimensiones del terreno para que la superficie encerrada sea maxima.
Rta: \[l=750 m; a=375m\]
Vos tenes que
\[A(a,l)=a\cdot l\]
como el campo está limitado por un rio, entoncés la restricción es
\[P=2a+l=1500\]
de donde
\[l=1500-2a\]
finalmente la funcion a minimizar es
\[A(a)=(1500-2a)\cdot a\]
Hay que derivarla y aplicar los criterios que conoces para responder a lo que te pide el ejercicio
un rectángulo tiene cuatro lados con dos "tamaños" de lados diferentes: L1 y L2.
por propiedad del rectangulo, el Área es:
\[A = L1 \cdot L2\]
como tenes un alambre de 1500 metros, podrías ocupar un perímetro de 1500 metros:
\[Perimetro = L1 \cdot 2 + L2 \cdot 2\]
\[1500 = L1 \cdot 2 + L2 \cdot 2\]
\[750 = L1 + L2\]
El "modelo" del problema sería el siguiente, dos funciones:
función A: \[A = L1 \cdot L2\]
función P: \[750 = L1 + L2\]
El objetivo es optimizar A dentro de los límites establecidos por la función P.
Ahora, para hacer la optimizacion reemplazas L1 o L2 de una ecuación sobre la otra, para que te quede una única ecuación:
\[A = (750-L2) \cdot L2\]
\[A = 750 \cdot L2 - L2^2\]
Fijate que queda una ecuación de la forma \[y(x) = ax^2 + b x + c\]
para \[a = -1\], \[b = 750\] y \[c = 0\]
Ahí buscas el valor de L2 para que A sea máximo/mínimo usando exactamente el mismo método para este tipo de ecuaciones (L2 para que derivada sea cero).
Como a es negativo (-1), la función tiene un máximo y no un mínimo.
Muuuuuchisimas Gracias a los dos!! Me quedo super claro. Yo dudaba el tema de la ecuacion del area porque como habia un rio pense que el area como no va a ser total a un rectangulo habia que hacerle algo y que se yo jajaja. Pero ya cuando trabajas con las variables del perimetro las cuales si estan bien definidas parece que sale solo
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GRACIAS NUEVAMENTE!
Podre joderlos con uno mas?, si apruebo va a ser gracias a ustedes jaja
Dice asi:
10)
Un hombre desea cercar un campo rectangular y luego subdividirlo en 3 parcelas rectangulares iguales colocando dos cercas paralelas a uno de los lados. Si dispone de 1000 mts. de cerca, ¿que dimensiones le daran el area
maxima?
Rta: 125 y 250 mts. respectivamente
plantea que
\[A(x,y)=x.y\]
con la restriccion
\[2x+4y=1000\]
Saga sos un genio! Gracias por ayudarme siempre jaja ya van varios post que lo haces. Sabes como lo habia pensado yo? que la restriccion era, dibujando un rectangulo, \[6x+4y=1000\], nose porque veia eso y jamas me daban las cuentas :=. Muchas gracias nuevamente
!