Gente, estoy con la siguiente duda:
No logro ver la diferencia cuando es un ejercicio una Superficie común o una Superficie de Nivel. Me afecta del siguiente modo, cuando tengo que sacar el Plano Tangente necesito el vector normal:
Para las superficies comunes el normal se saca por la multiplicación vectorial de las derivadas parciales,
En cambio para una superficie de nivel el plano tangente se saca con el grandiente.
Por ejemplo para el siguiente ejercicio:
Dada la superficie S contenida en R^3 definida por Z=10-y^2, halle los puntos de S donde la recta normal a S para por el punto (4,0,1/2)
Otro ejemplo que tenemos duda:
Dada la superficie z^2 + x^2=y^2 + 2. Analice si existen puntos donde el plano tangente a dicha superficie sea paralelo al plano z=x.
En los ejemplos anteriores que son superficies comunes o de nivel??
Revisando la carpeta vi que:
2x^2 -2y^2 + z^2=1 Es una Superficie de Nivel
x^2+ y^2 =4 Es una Superficie común
z=9-x^2 Es una Superficie común
Agradezco que me ayuden!!!
ejemplo pedorro.
curva de nivel.
es una superficie, para los cuales para cada z corresponde una curva.
supone una esfera, para cada z corresponde un circulo, no?
esto para que sirve? vos podes dibujar una funcion de r2 a r3 en un plano, o sea, no necesitas dibujarlo en r3. (por lo tanto dibujas una curva de nivel en el plano).
si te fijas, te mantenes en una dimension menor a la que corresponde la funcion original, siendo la esfera z^2+x^2+y^2=r^2.
una superficie de nivel es un paso mas adelante de eso, es una funcion de r3 a r4, r4 no se puede graficar (seria una grafica que cambia con el tiempo, todavia no se puede dibujar eso). eso es una superficie de nivel.
seria algo asi, para cada w una grafica (siendo la funcion algo asi como F(x,y,z,)=w).
![[Imagen: silla.jpg]](https://camo.utnianos.com.ar/008bcb0fc8a701b1061355f1fb06ee1e5cd964ae/687474703a2f2f7777772e76632e6568752e65732f63616d7075732f63656e74726f732f6661726d616369612f646570746f732d662f6465706d652f6170756e7465732f6772616369612f616e696d616461732f7661726961732f73696c6c612e6a7067)
Ajam, en la teoría te entendi. Lo que no me queda claro es si los ejemplos que puse son superficies de nivel o superficies comunes???, porque cambia como calculo el normal, por eso especificamente me interesa.
Desde ya Muchas Gracias
xavi82 gracias por la pagina, realmente entre las preguntas frecuentes no encontré nada que hable de superficies, y superficies de nivel, pero bueno puse la consulta ahi, espero q me responda.
si algun dia pones un enunciado completo, tal vez algun dia alguien te pueda ayudar.
Esas son superficies comunes. Calculalo como lo harías normalmente, no dejes que el nombre te maree. Una superficie de nivel es una superficie al fin y al cabo, y tiene las mismas propiedades que las otras superficies. Si calculás el normal de tal o cual manera, es más probable que sea por los requerimientos del ejercicio antes que por el hecho que sea una superficie de nivel o una superficie "común".
NaiaraAcosta escribió:Para las superficies comunes el normal se saca por la multiplicación vectorial de las derivadas parciales,
En cambio para una superficie de nivel el plano tangente se saca con el grandiente.
Superficies son todas. Si cambia la manera de calcular ciertas cosas es por una razón de "comodidad" del ejercicio puntual, pero de ninguna manera cambia el concepto subyacente a lo que estás calculando.
Más bien deberías revisar qué entendés por "superficie" y qué entendés por "superficie de nivel" y luego recién tratar de resolver los ejercicios.
claro, una superficie de nivel es la sufperficie que correspone a un w tal que
w=f(xyz). para cada w existe una superficie, si es funcion, deberia ser unica (del mismo modo que para cada x corresponde un y en un y=f(x)). el tema de calcular el normal el gradiente y todo lo que se te ocurra es lo mismo por que hablas de una superficie. nunca deja de ser una superficie. pero como una funcion de tres variables no podes graficarla (necesitas 4 ejes para graficar eso) entonces se usa la superficie de nivel (para la cual con 3 ejes podes graficar).
Justamente el punto 1) de las preguntas frecuentes es el que explica cuál es la diferencia al querer calcular el vector normal a una superficie y una superficie de nivel.
Lo más importante es tener claro el último párrafo:
Un error común es pensar que el gradiente es normal a “todo” lo que respecta a una función f(x,y), y por lo tanto querer calcular el vector normal a la gráfica de la función como \[\nabla f(x,y) = (f'_x, f'_y)\], pero observemos que este nunca puede ser el vector normal a una superficie, puesto que debería ser un vector de \[\mathbb{R}^3\] pero tiene solo 2 componentes!