18-08-2014, 20:06
Muchachos,
Estoy trantando de hacer este ejercicio, pero no logro avanzar:
Siendo \[f(x,y)= \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\] si \[(x,y) \neq (0,0)\] y \[f(0,0) = 0\] , demuestre que es continua y derivable en toda direccion en (0,0) pero no es diferenciable.
Para empezar, para ver el tema de la continuidad me surgen dudas. Porque todos los métodos que aplicamos generalmente son para demostrar la no continuidad de las funciones. En este caso, ¿como se puede demostrar la continuidad? :O
Despues, con el tema de las derivadas direccionales, lo que planteo es lo siguiente:
\[\lim_{(h)\to 0}\frac{f[(0,0)+h(u_1,u_2)] - f(0,0)}{h}\]
Resolviendo, me queda:
\[\lim_{(h)\to 0}\frac{h^3 . u_1 ^3 - h^3 u_1 . u_2^2}{u_1 ^2 + u_2 ^2}\]
Ahora, ya que se demuestra que no hay condiciones mas que \[u_1 ^2 + u_2 ^2\neq 0\]
Y ahora, ¿Como puedo demostrar que aun asi no es diferenciable?
Ustedes comentenme y lo trato de hacer....
Estoy trantando de hacer este ejercicio, pero no logro avanzar:
Siendo \[f(x,y)= \frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\] si \[(x,y) \neq (0,0)\] y \[f(0,0) = 0\] , demuestre que es continua y derivable en toda direccion en (0,0) pero no es diferenciable.
Para empezar, para ver el tema de la continuidad me surgen dudas. Porque todos los métodos que aplicamos generalmente son para demostrar la no continuidad de las funciones. En este caso, ¿como se puede demostrar la continuidad? :O
Despues, con el tema de las derivadas direccionales, lo que planteo es lo siguiente:
\[\lim_{(h)\to 0}\frac{f[(0,0)+h(u_1,u_2)] - f(0,0)}{h}\]
Resolviendo, me queda:
\[\lim_{(h)\to 0}\frac{h^3 . u_1 ^3 - h^3 u_1 . u_2^2}{u_1 ^2 + u_2 ^2}\]
Ahora, ya que se demuestra que no hay condiciones mas que \[u_1 ^2 + u_2 ^2\neq 0\]
Y ahora, ¿Como puedo demostrar que aun asi no es diferenciable?
Ustedes comentenme y lo trato de hacer....