No me sale este ejercicio si alguien podria explicarmelo paso a paso seria genial.
Dada la matriz A= \[\begin{pmatrix}h & 0 & 0 \\ k & 3 &-1\\ 0& -1& 3\end{pmatrix}\] Determine si existe h y k reales tal que \[\lambda \]= 2 sea autovalor de A de multiplicidad algebraica 2 y A sea diagonalizable
Primero calculas el determinante de A-lambda, esto te da tres autovalores, 2,4 y h. Como dice que la multiplicidad algebraica de lambda=2 es 2, h debe ser 2. Además, para que sea diagonalizable la multiplicidad geométrica del autovalor lambda=2 tiene que ser 2. Reemplazas lambda =2 en la matriz, multiplicas por la matriz columna (x,y,z) e igualas a (0,0,0). Se forma un sistema de tres ecuaciones. Para que la multiplicidad geométrica sea 2 te tiene que quedar una sola ecuación. Entonces k=0.
Lo de diagonizable lo veo la próxima clase pero en lo primero te puedo ayudar..
A vos te pide que 2 sea autovalor de A y que esté al cuadrado..
primero construis la matriz que responde a: A-\[\lambda\] I
Te va a quedar la misma matriz que A solamente que la diagonal va a ser h-\[\lambda\] (posición 1-1), 3-\[\lambda\] (posición 2-2) y por ultimo de nuevo 3-\[\lambda\] (posición 33).
Una vez que planteaste esta matriz le haces el determinante y lo igualas a cero.. y viendo como quedó la matriz conviene plantearlo por la primera fila quedando así:
(h-\[\lambda\]).[(3-\[\lambda\])^2-3]=0
Bueno de acá podes decir que h vale 2 y ahí ya tenés 1 de los 2 que te pide (te pide orden 2) así que tenés que verificar si existe el otro..
Igualas esto a cero (3-\[\lambda\])^2-3
Te queda una cuadrática (\[\lambda\])^2-6\[\lambda\]+8.. y como sus raíces una es 4 y otra es 2 listo.. podes decir que para h igual a 2 se cumple.
Espero haberte ayudado.. Si alguien encuentra que está algo mal avise..