02-10-2014, 03:30
Les adjunto el final con su respectiva resolución de la parte practica , los teoricos no estan complicados , de hecho se tomaron en anteriores finales
E) por definicion
\[\varphi=\iint_R f\cdot n dA\]
donde n sera igual al producto vectorial de los vectores elementales de una funcion g la cual la defino de forma vectorial como
\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,\sqrt{20-x^2-5y^2})\]
\[n=g'_x\times g'_y=\left ( \frac{x}{\sqrt{20-x^2-5y^2}},\frac{5y}{\sqrt{20-x^2-5y^2}},1 \right )\]
n tiene orientacion positiva, luego el producto escalar de f n es igual a
\[f\cdot n=5xy+5xy+xy=11xy\]
\[\varphi=\iint_R 11xy dA\]
de la restriccion \[z\geq 2x\] obtenemos \[x^2+y^2\leq 4\] finalmente tomando polares sobre R
\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}11 r^3\cos \theta\sin\theta drd\theta=22\]
E2) sale por el teorema de green , se cumplen sus hipotesis luego
\[\\Q'_x=2y+\theta(xy)+x\theta'(xy)y\\\\ P'_y=\theta(xy)+y\theta'(xy)x\]
\[Q'_x-P'_y=2y\]
\[\omega=\iint_R 2y dA\]
los limites
\[x^2\leq y\leq \sqrt{2-x^2}\]
por transitividad
\[x^2\leq \sqrt{2-x^2}\]
inecuacion que se puede expresar como \[(x^2-1)(x^2+2)\leq 0\] desigualdad que se cumple cuando \[x^2-1\leq 0\to |x|\leq 1\]
finalmente
\[\omega=\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}2ydydx=\frac{22}{15}\]
E3) Hay que determinar cuanto es el valor de z para ello utilizamos el punto (2,2) y lo evaluamos en la ecuacion dada, a ojimetro se obtiene que z=3 entonces tengo el punto \[A=(2,2,3)\]
como nos piden aproximar el punto (2,02 ; 1,98) debemos hallar el plano tangente a F, entonces defino
\[F(x,y,z)=x+2yz+ln(z-y)-14\]
ahora hay que calcular el gradiente de F y evaluarlo en A para obtener el normal del plano buscado
\[\nabla F(2,2,3)=(1,5,5)\]
con algo de algebra el plano es de ecuacion \[x+5y+5z-27=0\] despejando z ya que el enunciado nos dice que \[z=f(x,y)\] obtengo
\[z=f(x,y)=\frac{27}{5}-\frac{1}{5}x-y\]
finalmente
\[f(2,02; 1,98)\approx 3,016\]
E4)
haciendo \[f(1,1)=(2g(1),g(1))=(4,2)\] de donde obtenemos que la condicion inicial es \[g(1)=2\]
como f es clase 1 y admite funcion potencial entonces su matriz jacobiana es simetrica de donde hechas las cuentas se obtiene
\[g(x)+xg'(x)=2g(x)\]
resolviendo la ecuacion diferencial
\[\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}\to y=Ax\]
utilizando la condicion inicial la g que verifica la existencia de una funcion potencial es \[g(x)=2x\]
para hallar la circulacion puedo hacerlo hallando la funcion potencial , o utilizando la defincion de circulacion , elijo la primera , por definicion
\[\nabla\phi(x,y)= f(x,y)\]
entonces
\[\frac{\phi(x,y)}{dx}=4xy\quad \frac{\phi(x,y)}{dy}=2x^2\]
integrando , la funcion potencial pedida es
\[\phi(x,y)=2x^2y+K\]
luego
\[\omega=\phi(B)-\phi(A)=24\]
E) por definicion
\[\varphi=\iint_R f\cdot n dA\]
donde n sera igual al producto vectorial de los vectores elementales de una funcion g la cual la defino de forma vectorial como
\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=(x,y,\sqrt{20-x^2-5y^2})\]
\[n=g'_x\times g'_y=\left ( \frac{x}{\sqrt{20-x^2-5y^2}},\frac{5y}{\sqrt{20-x^2-5y^2}},1 \right )\]
n tiene orientacion positiva, luego el producto escalar de f n es igual a
\[f\cdot n=5xy+5xy+xy=11xy\]
\[\varphi=\iint_R 11xy dA\]
de la restriccion \[z\geq 2x\] obtenemos \[x^2+y^2\leq 4\] finalmente tomando polares sobre R
\[\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}11 r^3\cos \theta\sin\theta drd\theta=22\]
E2) sale por el teorema de green , se cumplen sus hipotesis luego
\[\\Q'_x=2y+\theta(xy)+x\theta'(xy)y\\\\ P'_y=\theta(xy)+y\theta'(xy)x\]
\[Q'_x-P'_y=2y\]
\[\omega=\iint_R 2y dA\]
los limites
\[x^2\leq y\leq \sqrt{2-x^2}\]
por transitividad
\[x^2\leq \sqrt{2-x^2}\]
inecuacion que se puede expresar como \[(x^2-1)(x^2+2)\leq 0\] desigualdad que se cumple cuando \[x^2-1\leq 0\to |x|\leq 1\]
finalmente
\[\omega=\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}2ydydx=\frac{22}{15}\]
E3) Hay que determinar cuanto es el valor de z para ello utilizamos el punto (2,2) y lo evaluamos en la ecuacion dada, a ojimetro se obtiene que z=3 entonces tengo el punto \[A=(2,2,3)\]
como nos piden aproximar el punto (2,02 ; 1,98) debemos hallar el plano tangente a F, entonces defino
\[F(x,y,z)=x+2yz+ln(z-y)-14\]
ahora hay que calcular el gradiente de F y evaluarlo en A para obtener el normal del plano buscado
\[\nabla F(2,2,3)=(1,5,5)\]
con algo de algebra el plano es de ecuacion \[x+5y+5z-27=0\] despejando z ya que el enunciado nos dice que \[z=f(x,y)\] obtengo
\[z=f(x,y)=\frac{27}{5}-\frac{1}{5}x-y\]
finalmente
\[f(2,02; 1,98)\approx 3,016\]
E4)
haciendo \[f(1,1)=(2g(1),g(1))=(4,2)\] de donde obtenemos que la condicion inicial es \[g(1)=2\]
como f es clase 1 y admite funcion potencial entonces su matriz jacobiana es simetrica de donde hechas las cuentas se obtiene
\[g(x)+xg'(x)=2g(x)\]
resolviendo la ecuacion diferencial
\[\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}\to y=Ax\]
utilizando la condicion inicial la g que verifica la existencia de una funcion potencial es \[g(x)=2x\]
para hallar la circulacion puedo hacerlo hallando la funcion potencial , o utilizando la defincion de circulacion , elijo la primera , por definicion
\[\nabla\phi(x,y)= f(x,y)\]
entonces
\[\frac{\phi(x,y)}{dx}=4xy\quad \frac{\phi(x,y)}{dy}=2x^2\]
integrando , la funcion potencial pedida es
\[\phi(x,y)=2x^2y+K\]
luego
\[\omega=\phi(B)-\phi(A)=24\]