Tengo una consulta con un ejercicio de la página 143 del módulo:
Cita:Encuentre, si existen, los ceros reales de las siguientes funciones polinómicas:
2) F (X) = \[X^{5} - X^{3} - X^{2} + 1\]
Estuve aplicando la regla de Ruffini y se supone que tiene que dar 5 soluciones (creo yo por el exponente), pero me obtuve este resultado:
\[ F(X)=(X+1)^{2}(X-1)\]
Terminó ahi porque llegue a una parte donde me encontré con esto y no pude continuar ya que me dió una raíz negativa:
\[X^{2} + X + 1\]
esta bien , 3 raices son reales , y dos imaginarias , sumando en total las 5 raices que mencionas
(15-10-2014 16:31)Saga escribió: [ -> ]esta bien , 3 raices son reales , y dos imaginarias , sumando en total las 5 raices que mencionas
Como represento los dos números imaginarios? Las dos ecuaciónes me quedaría así:
\[\frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}\]
\[\frac{-1 - \sqrt{-3}}{2} \]
Como te dijo Saga efectivamente tiene 3 raíces reales y dos imaginarias, te escribo desarrollo.
\[{ x }^{ 5 }-{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+1=0\]
\[{ x }^{ 3 }({ x }^{ 2 }-1)-({ x }^{ 2 }-1)=0\]
\[({ x }^{ 3 }-1)({ x }^{ 2 }-1)=0\]
\[({ x }-1)({ x }^{ 2 }+x+1)({ x }+1)({ x }-1)=0\]
(15-10-2014 16:51)ceci2907 escribió: [ -> ]Como te dijo Saga efectivamente tiene 3 raíces reales y dos imaginarias, te escribo desarrollo.
\[{ x }^{ 5 }-{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+1=0\]
\[{ x }^{ 3 }({ x }^{ 2 }-1)-({ x }^{ 2 }-1)=0\]
\[({ x }^{ 3 }-1)({ x }^{ 2 }-1)=0\]
\[({ x }-1)({ x }^{ 2 }+x+1)({ x }+1)({ x }-1)=0\]
Esto sería el camino "mas corto" no?
Esta parte no entendí, disculpa mi ignorancia pero me lo podes explicar?
\[({ x }^{ 3 }-1)({ x }^{ 2 }-1)=0\]
\[({ x }-1)({ x }^{ 2 }+x+1)({ x }+1)({ x }-1)=0\]
No entiendo como lo deducís, tal vez me falta un poco de práctica en esta parte.
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Y si sigo con la forma en que lo hice, que me quedaba así:
\[\frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}\]
\[\frac{-1 - \sqrt{-3}}{2} \]
¿Como termino la ecuación?
Cita:Cita:Como te dijo Saga efectivamente tiene 3 raíces reales y dos imaginarias, te escribo desarrollo.
\[{ x }^{ 5 }-{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+1=0\]
\[{ x }^{ 3 }({ x }^{ 2 }-1)-({ x }^{ 2 }-1)=0\]
\[({ x }^{ 3 }-1)({ x }^{ 2 }-1)=0\]
\[({ x }-1)({ x }^{ 2 }+x+1)({ x }+1)({ x }-1)=0\]
Esto sería el camino "mas corto" no?
Esta parte no entendí, disculpa mi ignorancia pero me lo podes explicar?
\[({ x }^{ 3 }-1)({ x }^{ 2 }-1)=0\]
\[({ x }-1)({ x }^{ 2 }+x+1)({ x }+1)({ x }-1)=0\]
No entiendo como lo deducís, tal vez me falta un poco de práctica en esta parte.
Ahí Saga hizo
diferencia de cuadrados y
diferencia de cubos, dos casos de factoreo muy utiles para que el ejercicio que sea mas corto (pero no son imprescindibles). Con Gauss-Ruffini llegas a lo mismo, pero toma mucho mas tiempo y trabajo.
Cita:-------------
Y si sigo con la forma en que lo hice, que me quedaba así:
\[\frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}\]
\[\frac{-1 - \sqrt{-3}}{2} \]
¿Como termino la ecuación?
Son complejos esos numeros, te toman complejos? Si es así, recorda que i=√-1 :
\[\frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}\]
\[\frac{-1 + \sqrt{(3.(-1))}}{2}\]
\[\frac{-1 + \sqrt{3}.\sqrt{-1}}{2}\]
\[\frac{-1 + \sqrt{3}.i}{2}\]
\[\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\]