11-11-2014, 22:07
Tengo mis dudas con el siguiente verdadero o falso.
Enunciado: La función \[f(x) = \left | x-1 \right | ln x\] no presenta puntos de inflexión.
Primero que nada, abrí la función:
\[f(x) = \left\{\begin{matrix}(x-1). ln x & ; x\geq 1\\ (-x+1). ln x & ; 0 < x< 1\end{matrix}\right.\]
Calculo derivada primera:
\[f'(x) = \left\{\begin{matrix}ln x + 1 - \frac{1}{x}& ; x\geq 1\\ -ln x - 1 + \frac{1}{x} & ; 0 < x< 1\end{matrix}\right.\]
Calculo derivada segunda:
\[f''(x) = \left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}& ; x\geq 1\\ -\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} & ; 0 < x< 1\end{matrix}\right.\]
Igualo ambas f''(x) a 0 y me queda que \[x=-1\] (lo verifiqué con la derivada tercera y me da distinto de 0). Mi duda viene ya que -1 no pertenece al dominio de la función. Es punto de inflexión igual?
Y otra cosa, en la resolución del final ponen que punto de inflexión es x=1. En wolfram alpha (ver función aca) me parece ver un cambio de dirección en x=1. No entiendo como les da que el punto es 1 (lo cual concuerda con el gráfico) y a mi -1 (también verificada la f''(x)=0 con wolfram)
Gracias.
Enunciado: La función \[f(x) = \left | x-1 \right | ln x\] no presenta puntos de inflexión.
Primero que nada, abrí la función:
\[f(x) = \left\{\begin{matrix}(x-1). ln x & ; x\geq 1\\ (-x+1). ln x & ; 0 < x< 1\end{matrix}\right.\]
Calculo derivada primera:
\[f'(x) = \left\{\begin{matrix}ln x + 1 - \frac{1}{x}& ; x\geq 1\\ -ln x - 1 + \frac{1}{x} & ; 0 < x< 1\end{matrix}\right.\]
Calculo derivada segunda:
\[f''(x) = \left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}& ; x\geq 1\\ -\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} & ; 0 < x< 1\end{matrix}\right.\]
Igualo ambas f''(x) a 0 y me queda que \[x=-1\] (lo verifiqué con la derivada tercera y me da distinto de 0). Mi duda viene ya que -1 no pertenece al dominio de la función. Es punto de inflexión igual?
Y otra cosa, en la resolución del final ponen que punto de inflexión es x=1. En wolfram alpha (ver función aca) me parece ver un cambio de dirección en x=1. No entiendo como les da que el punto es 1 (lo cual concuerda con el gráfico) y a mi -1 (también verificada la f''(x)=0 con wolfram)
Gracias.