hola amigos, les explico rapidamente mi problema, me voy a presentar a rendir el final de discreta y hace mucho que la curse. por lo cual hay cosas q no recuerdo, agradeceria mucho que me den una mano
mi problema es el siguiente, como se calculan las clases de equivalencia, la particion(conj cociente) y grafica de una relacion?
vi unos ejemplos por ahi pero no me fueron de mucha ayuda.
me seria mas facil si me dicen como se hace en forma general...
aca dejo un ejemplo que para los que me quieren ayudar.
N pertenece a los naturales: NxN se define (x,y)S(z;t)<=>x+t=y+z
ya demostre que es de equivalencia, repito, solo necesito saber cuales con las clases, grafica y particion
Muchas gracias!
Creo que la explicación que te voy a dar es válida.
Estos casos son unos de los más complicados para sacar las clases de equivalencia, porque no sólo el conjunto sobre el cual aplica es infinito, sino que tiene más de una dimensión y eso puede marear. Pero la idea es no perderse con eso.
En general, cuando tenés elementos que se relacionan según cierca condición, con esa condición podés despejar una o más variables, para conocer el elemento genérico que se relaciona con cualquier oto elemento.
A ver, para entenderlo mejor, en nuestro caso tenemos (x,y)S(z,t) <==> x + t = y + z
De esa condición podemos despejar una variable. Supongamos que tomamos un elemento genérico, (x,y)... qué elementos están relacionados con él? bueno, todos los (z,t) tal que x + t = y + z. Todos los elementos que se relacionan con (x,y), y el mismo (x,y), formarán toda una clase. Así, determinando los diferentes valores para "x" y para "y", podemos ir descubriendo nuevas clases.
Despejemos "t" ó "z" (elijo t):
t = y + z - x
Entonces, el elemento genérico relacionado sería (z, y + z - t).
Es decir: (x,y)S(z, y + z - x).
Esto significa: dado un elemento (x,y), éste se relaciona (o lo que es lo mismo: "pertenece a la misma clase de equivalencia que" -esto se puede decir ya que es una relación de equivalencia... no existiría el concepto de clase si no lo fuera) con todo elemento (z, y + z - x). Pero z no está determinado (habíamos tomado un (x,y)), por lo cual ese valor podrá ser cualquiera natural, y el determinado será el valor y + z - x.
Por ejemplo (1,2) con quién se relaciona?
x=1, y=2
entonces, se relaciona con los elementos (z, 2 + z - 1), o sea, con (1, 2), con (2, 3), con (3, 4), etc.
Podemos decir que todos estos pertenecen a la misma clase (y no a otra, ya que son disjuntas siempre).
{(1,2), (2,3), (3,4)...} conforman la clase de (1,2) (o de (2,3), etc.)
Cl(1,2) = Cl(2,3) = Cl(3,4) = ...
Ahora, podemos tomar un elemento (4, 8) y hacer lo mismo.
Básicamente la idea es la misma, lo importante es descubrir el elemento genérico.
En general, la clase de (x,y) es:
Cl(x,y) = { (x,y), (z, y + z - x), con z natural }.
Como hay infinitos z naturales, la clase obviamente será infinita para un elemento (x,y) en particular.
Espero que se haya entendido algo, igual convengamos que es uno de los casos más complejos.
Cualquier cosa preguntá.
Suerte!
esta bien, me quedo claro. el tema de la particion y la grafica?
mil gracias por la respuesta!!!