UTNianos

No termino de entender los auto valores y auto vectores a fondo.
El ejercicio 10) de la guía de la cátedra me dice que teniendo una Transformación de R3 en R3 / (x,y,z)=(2x-3y+5z,-y+5z,4z)
Si es posible halle una base de R3 tal que Mb(T) sea diagonal.

Yo lo que hice fue armar la matriz asociada a T, y busque sus auto valores, me dan 3 auto valores -1,2,4 y si saco los auto vectores asociados a esos 3 auto valores ese es el resultado de la guia.

Lo que no logro entender es que tenia que hacer Lo resolví mecánicamente y no entiendo por que los 3 auto vectores son la base de R3 que hacen que la matriz asociada a la Transformación sea Diagonalizable

Los auto vectores son los vectores canónicos de R3

Si alguien puede ayudar, Gracias!!!!

Es una base de R3 porque cumple la condición para que tu matriz sea diagonizable. Y para que lo sea, la multiplicidad aritmética tiene que coincidir con la multiplicidad geométrica, la primera se refiere a si es una raíz simple, raíz doble, etc, en este caso como encontraste tres números distintos, son raíces simples, por ende la multiplicidad aritmética de cada uno es uno, si por ejemplo te hubiera quedado que tus autovalores son 2 , 2 , 1, en ese caso el autovalor 2 tiene una multiplicidad aritmética 2, ya que es una raíz doble. Y por último, la multiplicidad geométrica hace referencia a la dimensión del subespacio que formas con tu autovalor, como cada uno esta asociado a un autovector, entonces la multiplicidad geométrica es uno, si en el autovalor 2, te hubiera dado dos autovectores, entonces su multiplicidad geométrica hubiese sido dos. Y en conclusión, como en los tres casos coincide la MG con la MA, decís que es diagonizable. Con que en uno de los autovalores no se cumpliera esa condición, ya es suficiente para decir que tu matriz no es diagonizable.

Claro lo de la multiplicidad lo sabia y entendí como ver si es o no diagonizable, el punto es por que para que sea diagonizable la base tienen que ser mis auto vectores? se entiende o me complico mucho?