UTNianos

Buenas tardes gente, estoy trabajando con la guia de integrales multiples de AM2 y el ejercicio 7 de la guia no me sale, lo paso a enunciar:

a) Calcule el area de la region plana limitada por las curvas de niveles \[e^{4}\] y \[e^{8}\] de f(x,y)=\[e^{x^{2}+2y^{2}}\]

Viendo esto se me ocurrio que lo logico era plantear \[e^{4}\]=\[e^{x^{2}+2y^{2}}\] y \[e^{8}\]=\[e^{x^{2}+2y^{2}}\]
de donde puedo aplicar logaritmos en ambos lados e igualar los exponentes.
Haciendo esto quedan dos elipses que delimitan una zona intermedia entre una y otra.

Utilice la parametrizacion (x,y)=(r.cos(\[\theta \]), b.r.sen(\[\theta \]))

Y calculando el Jacobiano, obtuve |(b.r)|. donde b=1/2 y se desprende de la 'y' que forma parte de la elipse.

Los limites de integracion de \[\theta \] quedan determinados [0,2\[\pi \]] ya que esta centrada en el origen.
Los limites de integracion de 'r' no pude darme cuenta como obtenerlos.

Si alguien lo tiene resuelto o puede/quiere tirarme una mano con esto les agradeceria mucho

Saludos!

La region la podes expresar como

\[4<x^2+2y^2<8\]

con el cambio que elegiste tenes (tenes un error en el jacobiano no es 1/2 es r sobre la raiz de 2)

\[2<r<\sqrt{8}\]

finalmente

\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{\sqrt{8}}\frac{r}{\sqrt{2}}drd\theta=2\sqrt{2}\pi\]

movido a basicas

Tenes razon, \[b^{2}\]=1/2, cometi el error ahi creo, en realidad el jacobiano lo calcule bien pero reemplace mal por lo que estoy viendo en el cuaderno.

gracias che, corriste una piedra del camino.

saludos!

Ya que esta, se podria agregar a la lista de ejercicios del indice... la dejo picando...

INGAR acá tenés muchos resueltos en el foro: http://www.utnianos.com.ar/foro/tema-an%...#pid402586

Si, los consulto permanentemente jaja gracias UTNianossssss!

(22-11-2014 23:35)Saga escribió: [ -> ]La region la podes expresar como

\[4<x^2+2y^2<8\]

con el cambio que elegiste tenes (tenes un error en el jacobiano no es 1/2 es r sobre la raiz de 2)

\[2<r<\sqrt{8}\]

finalmente

\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{\sqrt{8}}\frac{r}{\sqrt{2}}drd\theta=2\sqrt{2}\pi\]

movido a basicas

Buenas yo tengo que la parametrizacion es:

\[(x;y) = (a.r.cos (\theta) ; b.r.sen(\theta))\]

Como determino a y b y los limites de r?

a b salen de la ecuaciones de las elipses que son frontera de tu region de integracion , los determinas tal cual lo hacias en algebra o tambien a ojo podes decir que

\[x=r\cos\theta\]

\[y=r\dfrac{\sin\theta}{\sqrt{2}}\]

que es lo que hice en el ejercicio , y despues simplemente reemplaze esas nuevas coordenadas x e y por las nuevas coordenadas y ahi obtenes lo valores en los cuales varia r