24-11-2014, 00:27
Hola! Resolviendo parciales me surgieron unas dudas más que nada de saber si planteé bien los ejercicios o no. Dejo los enunciados y lo que resolví yo.
Ejercicio 1
Expresar la masa del cuerpo del primer octante formado por \[z^{2}\leqslant y^{2}+x^{2}\], \[y^{2}+x^{2}+z^{2} \leqslant 4\] si la densidad en cada punto es directamente proporcional a la distancia al plano: z = 0, tanto en cilíndricas como en esféricas.
Este es un parcial resuelto de fotocopiadora, donde no me cierra lo que hizo la persona que lo resolvió porque yo lo planteé de otra forma.
Cilíndricas:
\[\left\{\begin{matrix}x= r cos\varphi \\ y = rsen\varphi \\z = z\end{matrix}\right.\]
Donde
\[0 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}\]
\[0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}\]
\[r \leqslant z \leqslant \sqrt{4-r^2}\]
Esféricas
\[\left\{\begin{matrix}x= r cos\theta sen \theta\\ y = rsen\varphi sen \theta\\z = r cos \theta\end{matrix}\right.\]
Donde:
\[0 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}\]
\[0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}\]
\[0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}\]
El resto sé cómo calcularlo, el tema es saber si definí bien los límites, y si no están bien por qué. La verdad es que no me doy cuenta de eso.
Ejercicio 2
Calcular el área de la porción de\[y = x^2 + z^2 \] que resulta exterior a \[y = 2 \sqrt{x^2+z^2}\]
En este ejercicio tengo dudas porque de lo que hay que calcular el área es de la región exterior al cono entonces no sé si estoy definiendo bien las cosas.
Yo lo parametricé primero como:
\[\left\{\begin{matrix}x=u\\ y= u^2+v^2\\ z=v\end{matrix}\right.\]
Luego hago cambio de variables y me queda:
\[\left\{\begin{matrix}u=rcos\varphi\\ y= 2r\\ z=rsen\varphi\end{matrix}\right.\]
Donde,
\[\left\{\begin{matrix}0\leqslant u\leqslant 2\pi\\ 0 \leqslant r \leqslant 2\end{matrix}\right.\]
Y de esto, bueno, calcular el área. Eso lo sé hacer, también el tema son los límites, saber si los definí bien o no
Estos dos ejercicios no me dejan dormir
Saludos
Ejercicio 1
Expresar la masa del cuerpo del primer octante formado por \[z^{2}\leqslant y^{2}+x^{2}\], \[y^{2}+x^{2}+z^{2} \leqslant 4\] si la densidad en cada punto es directamente proporcional a la distancia al plano: z = 0, tanto en cilíndricas como en esféricas.
Este es un parcial resuelto de fotocopiadora, donde no me cierra lo que hizo la persona que lo resolvió porque yo lo planteé de otra forma.
Cilíndricas:
\[\left\{\begin{matrix}x= r cos\varphi \\ y = rsen\varphi \\z = z\end{matrix}\right.\]
Donde
\[0 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}\]
\[0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}\]
\[r \leqslant z \leqslant \sqrt{4-r^2}\]
Esféricas
\[\left\{\begin{matrix}x= r cos\theta sen \theta\\ y = rsen\varphi sen \theta\\z = r cos \theta\end{matrix}\right.\]
Donde:
\[0 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}\]
\[0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2}\]
\[0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}\]
El resto sé cómo calcularlo, el tema es saber si definí bien los límites, y si no están bien por qué. La verdad es que no me doy cuenta de eso.
Ejercicio 2
Calcular el área de la porción de\[y = x^2 + z^2 \] que resulta exterior a \[y = 2 \sqrt{x^2+z^2}\]
En este ejercicio tengo dudas porque de lo que hay que calcular el área es de la región exterior al cono entonces no sé si estoy definiendo bien las cosas.
Yo lo parametricé primero como:
\[\left\{\begin{matrix}x=u\\ y= u^2+v^2\\ z=v\end{matrix}\right.\]
Luego hago cambio de variables y me queda:
\[\left\{\begin{matrix}u=rcos\varphi\\ y= 2r\\ z=rsen\varphi\end{matrix}\right.\]
Donde,
\[\left\{\begin{matrix}0\leqslant u\leqslant 2\pi\\ 0 \leqslant r \leqslant 2\end{matrix}\right.\]
Y de esto, bueno, calcular el área. Eso lo sé hacer, también el tema son los límites, saber si los definí bien o no
Estos dos ejercicios no me dejan dormir
Saludos