UTNianos

Es un ejercicio del segundo parcial de La profesora Boggi.

Sea la ecuacion en R2 : \[x^{2}+2y^{2}-\alpha y-2=0\]
a) Hallar el valor de \[\alpha\] para que la ecuacion corresponda a una elipse de centro (0,1).
b) para el valor hallado, grafique la elipse incidcando focos y vertice.

Mi duda es, cuando completo los cuadrados me confunde el termino independiente -2 , no se si tomrlo en cuenta cuando completo cuadrados.

Como haces para completar cuadrados sin el termino independiente? Como el centro te tiene que quedar en (0,1) sumas 3 de cada lado para que el termino independiente quede +1, recorda que no puede ser negativo ya que es resultado de un cuadrado. Otra cosa que molesta es ese 2 multiplicando a la y, por lo que dividimos previamente todos los terminos por dos:

\[x^{2} + 2y^{2} -\alpha y -2=0\]

Dividimos por 2:

\[\frac{x^{2}}{2} + y^{2} -\frac{\alpha y}{2} -1=0\]

Sumamos 2 a ambos terminos:

\[\frac{x^{2}}{2} + y^{2} -\frac{\alpha y}{2} +1=2\]

La unica forma que el cuadrado funcione como esta es que alfa sea 2:

\[\frac{x^{2}}{2} + (y^{2} -1)^{2}=2\]

Y luego para que este todo igualado a 1 dividimos todo por 2:

\[\frac{x^{2}}{4} + \frac{(y^{2} -1)^{2}}{2}=1\]