Disculpa por la demora
hernan.81
Asumiendo que vos te referis al apunte de medios de transmisión. Teniendo por dato las pérdidas en el conductor (R y L) y las pérdidas del dieléctrico (G y C)
Vos partís de decir que:
\[\gamma = \sqrt{Z \cdot Y} = \sqrt{(R+jwL)(G+jwC)}\]
\[\gamma = \sqrt{RG - w^2LC + jw (RC + LG)} = (\alpha + j \beta )\]
\[\gamma^2 = (\alpha + j \beta )^2 = \alpha^2-\beta^2+j2\alpha\beta= RG - w^2LC + jw (RC + LG)\]
Resulta que:
Real:
\[\alpha^2 - \beta^2 = RG - w^2LC\] (1)
Imaginario:
\[j2\alpha\beta = jw(RC+LG)\]
Colocamos beta en función de alfa:
\[\beta = \frac{ w(RC+LG)}{2\alpha}\]
Y reemplazamos en (1)
\[\alpha^2 -\left ( \frac{ w(RC+LG)}{2\alpha} \right ) ^2 = RG - w^2LC\]
Multiplicamos miembro a miembro por alfa al cuadrado:
\[\alpha^4 -\left ( \frac{ w(RC+LG)}{2} \right ) ^2 = (RG - w^2LC) \alpha^2\]
Reagrupamos y ordenamos
\[\alpha^4 -(RG - w^2LC) \alpha^2 -\left ( \frac{ w^2 \cdot (RC+LG)^2}{4} \right )\]
Luego el procedimiento es exactamente igual a como calculaste la atenuación para medios con pérdidas en el primer cuatrimestre.
\[\alpha_1^2, \alpha_2^2 = \frac{(RG - w^2LC) \pm \sqrt{(RG - w^2LC) ^2 +4 \cdot 1 \cdot \left ( \frac{ w^2 \cdot (RC+LG)^2}{4} \right ) }}{2}\]
Reordenando y sacando factor común 1/2:
\[\alpha_1^2, \alpha_2^2 = \frac{1}{2} \cdot \left [ (RG - w^2LC) \pm \sqrt{(RG - w^2LC) ^2 + w^2 (RC+LG)^2} \right ]\]
Por lo que al final te queda:
\[\alpha_1, \alpha_2 = \sqrt {\frac{1}{2} \cdot \left [ (RG - w^2LC) \pm \sqrt{(RG - w^2LC) ^2 + w^2 (RC+LG)^2} \right ]} (2)\]
Resolviendo el término cuadrático te va a quedar:
\[ (RG - w^2LC) ^2 + w^2 (RC+LG)^2 = [(RG)^2 + w^4(LC)^2 -2w^2(LC)(RG)] + w^2 [(RC)^2+(LG)^2+2(RC)(LG)]\]
Reordenando y agrupando el w^2 (fijate que reordeno en el segundo término de la suma RC y LG como LC y RG)
\[ (RG - w^2LC) ^2 + w^2 (RC+LG)^2 = [(RG)^2 + w^4(LC)^2 -2w^2(LC)(RG)] + w^2(RC)^2+w^2(LG)^2+2w^2(LC)(RG)\]
Cancelo términos y saco factor común R^2 de los términos correspondientes y w^2L^2 del resto de los términos
\[ (RG - w^2LC) ^2 + w^2 (RC+LG)^2 = R^2 (G^2+w^2 C^2) + w^2L^2 (G^2 + w^2C^2)\]
Si ahora sacas factor común de G^2+w^2C^2 te queda:
\[ (RG - w^2LC) ^2 + w^2 (RC+LG)^2 = (R^2 + w^2L^2)(G^2+w^2 C^2)\]
Y si lo sustituís en (2)
\[\alpha_1, \alpha_2 = \sqrt {\frac{1}{2} \cdot \left [ (RG - w^2LC) \pm \sqrt{(R^2+w^2L^2)(G^2+w^2C^2)} \right ]}\]
Como el coeficiente debe ser positivo tomas unicamente la solución que suma el término cuadrático (podes creerme o bien volver a (2) y fijarte que cuando sacas factor comun (RG-w^2LC) te queda una resta contra un término de (RG-w^2LC) mayor, por ende negativo entonces tendrías un alfa complejo.
Al final te queda como en el pdf que:
\[\alpha_1, \alpha_2 = \sqrt {\frac{1}{2} \cdot \left [ (RG - w^2LC) + \sqrt{(R^2+w^2L^2)(G^2+w^2C^2)} \right ]}\]
Si tenes ganas hacelo para beta.
Espero que te sirva, si me equivoque en algo avisame. Saludos
