1) lo tenes que hacer por el teorema del rotor
joburu, entonces se cumple que
\[\omega=\int fds=\iint_R rot f n dA=\iint_R (R'_y-x,-R_x,z-2y)(0,0,1) dA\]
tomando polares sobre la region
\[\omega=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{4\sin t} (4-2r\sin t)rdrd\theta=0\]
wolfram
2) conviene dejarlo en cartesianas y proyectar sobre el plano xz , entonces el volumen se puede calcular
\[V=\iint_{P_{xz}}\left ( \int_{0}^{x}dy \right )dxdz=\iint_{P_{xz}} xdxdz\]
haciendo un dibujo siemple sobre el plano xz , y haciendo que x dependa de z, deducis que
\[V=\iint_{P_{xz}} xdydz\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{9-z^2}} x dxdz=\frac{13}{3}\]
wolfram
3) se cumplen las condiciones del teorema de la divergencia entonces
\[\varphi=\iint fnds=\iiint_V div f dV=\iiint 2z dV\]
nuevamente proyecto sobre el xz y defino la integral de volumen como
\[V=\iint_{P_{xz}}\left ( \int_{0}^{2-x} 2z dy\right ) dxdz=\iint_{P_{xz}}2z(2-x)dxdz\]
tomando polares sobre la proyeccion
\[V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}[(2r\sin\theta)(2-r\cos\theta)]r drd\theta=\frac{20}{3}\]
wolfram
4) Se cumplen las condiciones para ser un campo de gradientes entonces busco la funcion potencial la cual se obtiene de resolver
\[\frac{dU}{dx}=x+y\quad \frac{dU}{dy}=x-y\]
integrando y resolviendo
\[U(x,y)=\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+xy+C\]
para hallar las lineas equipotenciales el potencial debe ser constante entonces
\[K=\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+xy\]
la que pasa por el (1,1) tiene ecuacion
\[\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+xy=1\]
para las lineas de campo solo hay que aplicar la definicion
\[\frac{dy}{dx}=\frac{Q}{P}=\frac{x-y}{x+y}\]
de donde la ED a resolver es
\[(x-y)dx=(x+y)dy\]
la cual es total exacta .. resolviendo y evaluando en el punto pedido la linea de campo pedida es
\[\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}-xy=-1\]