09-12-2014, 10:59
Buen día. Tengo problemas con un ejercicio de identificación de cónicas. El mismo dice, "Halle k para que la ecuación resulte un par de rectas paralelas".
\[x^2 + k xy + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0\]
Por lo que tengo entendido tengo que trabajar con la expresión matricial de la cónica y aplicar el polinomio característico en la primer matriz.
\[\left | \begin{pmatrix} 1-\lambda & k/2 \\ k/2 & 1-\lambda \end{pmatrix}\right | = 0\]
Lo que resultaría:
\[(1-\lambda) (1-\lambda) - \frac{k^2}{4} = 0\]
Segun la teoría yo tengo: \[A\lambda ^2 + B\lambda + C = 0\]
Aunque me falta saber cuando las rectas se cortan que por lo que tengo entendido ocurre en la hipérbola... el ejercicio pide paralelas, por lo tanto si desarrollo el polinomio característico llego a:
\[\lambda^2 - 2\lambda + [1 - \frac{k^2}{4}] = 0\]
De esta manera igualo el término C a cero:
\[[1 - \frac{k^2}{4}] = 0\]
y resulta: \[k = 2 \] o \[k = -2 \]
Graficando me queda:
Y no resulta....
Con otros ejercicios hice lo mismo y el gráfico coincide, que puedo estar haciendo mal?
Gracias.
\[x^2 + k xy + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0\]
Por lo que tengo entendido tengo que trabajar con la expresión matricial de la cónica y aplicar el polinomio característico en la primer matriz.
\[\left | \begin{pmatrix} 1-\lambda & k/2 \\ k/2 & 1-\lambda \end{pmatrix}\right | = 0\]
Lo que resultaría:
\[(1-\lambda) (1-\lambda) - \frac{k^2}{4} = 0\]
Segun la teoría yo tengo: \[A\lambda ^2 + B\lambda + C = 0\]
- Circunferencia: \[\lambda 1 = \lambda 2\] y \[B^2 - 4C = 0\]
- Hipérbola: \[Sg(\lambda1)\neq Sg(\lambda2) \] y \[C < 0\]
- Elipse: \[Sg(\lambda1) = Sg(\lambda2)\]
- Parábola: \[\lambda = 0\] y \[C = 0\] (Si hay términos lineales)
- 2 Rectas paralelas \[\lambda = 0\] y \[C = 0\] (Si no hay términos lineales)
Aunque me falta saber cuando las rectas se cortan que por lo que tengo entendido ocurre en la hipérbola... el ejercicio pide paralelas, por lo tanto si desarrollo el polinomio característico llego a:
\[\lambda^2 - 2\lambda + [1 - \frac{k^2}{4}] = 0\]
De esta manera igualo el término C a cero:
\[[1 - \frac{k^2}{4}] = 0\]
y resulta: \[k = 2 \] o \[k = -2 \]
Graficando me queda:
Y no resulta....
Con otros ejercicios hice lo mismo y el gráfico coincide, que puedo estar haciendo mal?
Gracias.