Hola que tal ! me gustaria saber si alguien me ayuda a resolver este ejercicio del final de algebra del 17/12/2013
Definir una transformacion lineal G: R2 -- R2x2 que verifique lo siguiente:
Nu(G)=gen(1,0,1)
Im(G) = S intersec W, siendo W = ( Ae R2x2 / traza(A)=0)
Explicar porque G esta bien definida, no hace falta encontrar la formula
Partamos del ejercicio 1.a)
Para que sea inyectiva, la dimensión del núcleo debe ser 0. por el teorema de las dimensiones, vos sabes que dim(v)=dim(nu)+dim(im), dado que la dimensión de la imagen es 3 dado que los A que pertenecen a R^2x2 son de la forma {(1,0,0,0)(0,1,1,0)(0,0,0,1)} (acomodalos a esos en forma de 2x2, donde los extremos estan en la diagonal principal, y podrás verlo mejor), por lo tanto dimensión del núcleo=0 entonces es inyectiva.
b. El ejercicio es de R^3 a R^2x2
Definimos: T(1,0,1)=(0, 0, 0, 0) (condición del núcleo)
Luego te pide que la imagen sea S intersección con W, este conjunto son todos los A en R^2x2 tales que tr(A)=0, o sea que la diagonal principal esta compuesta por el elemento 0. Por lo que la intersección con S es el vector (0,1,1,0).
Entonces, podemos poner dos elementos LI en el dominio: (1,0,0) y (0,1,0) (cualquier otro vector es combinación lineal de los otros tres) y lo transformamos
T(1,0,0)=(0,1,1,0)
T(0,1,0)=(0,1,1,0)
T(1,0,1)=(0,0,0,0)
Y queda definida la TL que buscábamos. Para eso explicar por qué queda bien definida, haces uso de los cuatro axiomas y listo!
Excelente ! gracias por la resupuesta ( y por estar atento a mi error de escritura )