24-02-2015, 04:16
les dejo el final que se tomo en la ultima fecha con mi resolucion, se aceptan criticas
[attachment=10569]
T1) el resultado de la integral dada en cartesianas es pi/4 la región corresponde con las ecuaciones
\[R=\left \{ x\in R^2/ y\leq x\quad x^2+y^2\leq 2 \right \}\]
en polares
\[A=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\sqrt{2}}r drd\theta=\frac{\pi}{4}\]
T2) bla bla bla... componemos la funcion F para despues aplicar la definicion de derivada direccional , gradiente por versor porque la composicion hace que F sea diferenciable
\[F(g(x,y))=f(|x|,xy)\]
resulta entonces
\[F(x,y)=x^2+xy\]
de donde
\[\nabla F(0,1)=(1,0)\]
por definicion de derivada direccional
\[F'(0,1)=\nabla F(0,1)\cdot \hat r=(1,0).(0,4;0,6)=0,4\]
E1) de la parametrizacion sobre la superficie defino la funcion vectorial g
\[g:R^3\to R^2 /g(x,z)=(x,2-\sqrt{x^2+z^2},z)\]
por definicion
\[A=\iint_R ||g'_x\times g'_z ||dA\]
haciendo el producto vectorial
\[||g'_x\times g'_z ||=\sqrt{2}\]
la region R se define como
\[R:\left \{ x\in R^2 /x^2+z^2\leq 4 \right \}\]
sin pensar mucho
\[A=\sqrt{2}\iint_R dA=\sqrt{2}\dfrac{\pi R^2}{4}=\sqrt{2}\pi\]
E2) por definicion
\[M=\iiint \delta (x,y,z) dV\]
de donde
\[\delta (x,y,z)=k\sqrt{x^2+y^2}\]
para hallar el volumen utilizo una integral doble
\[M=\iint_{R}\left (\int_{0}^{y+4}k\sqrt{x^2+y^2}dz \right )dydx=k\iint_{R}\sqrt{x^2+y^2}(y+4) \right )dydx\]
R se define como
\[R=\left \{ x\in R^2 /x^2+y^2\leq 4 \right \}\]
tomando polares sobre R
\[M=k\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r^3\sin\theta+4r^2drd\theta=\left ( 4+\frac{16\pi}{3} \right )k\]
E3)
a) por definicion
\[\nabla f=0\to 2x(y+1)=0\quad x^2+2y-2=0\]
los candidatos a maximos minimos y puntos silla son
\[\quad A=(0,1)\quad B=(2,-1)\quad C=(-2,-1)\]
el hesiano es
\[H(x,y)=\begin{pmatrix}2y+2 & 2x\\\\ 2x & 2 \end{pmatrix}\]
creo que pueden concluir desde aca cual es maximo minimo o punto silla , solo es aplicar los criterios correspondientes
b) los puntos son de la forma
\[(x,y,f(x,y))\]
entonces solo hay que hacer
\[\\A'=(0,1,f(0,1))\\\\ B'=(-1,2,f(-2,-1))\quad C'=(-1,-2,f(2,-1))\]
E4) para que exista funcion potencial la matriz jacobiana debe ser simetrica y el dominio simplemente conexo , calculando la matriz jacobiana se observa que para que sea simetrica
necesariamente
\[g'(x)=g(x)\to y'=y\to \frac{dy}{dx}=y\to g(x)=Me^x\]
para hallar M usamos las condiciones iniciales dadas en el ejercicio
\[f(0,0,0)=(0,3,0)\to g(0)=3\]
luego la g que verifica lo pedido es
\[g(x)=3e^x\]
por definicion de funcion potencial
\[ f=\nabla\phi\to \phi(x,y,z)=3ye^x+y^2z+C\]
de la interseccion de las ecuaciones de las superfices obtenemos
\[4-z^2=2y\]
interseccion con el eje z implica que
\[z=0\quad y=2\quad x=0\]
interseccion con el eje y implica
\[y=0\quad z=2\quad x=0\]
los puntos son
\[A=(0,0,2)\quad B=(0,2,0)\]
si recorro la curva en sentido antihorario entonces
\[\phi(B)-\phi(A)=\phi(0,2,0)-\phi(0,0,2)=6\]
avisen si mande fruta en algun lado
[attachment=10569]
T1) el resultado de la integral dada en cartesianas es pi/4 la región corresponde con las ecuaciones
\[R=\left \{ x\in R^2/ y\leq x\quad x^2+y^2\leq 2 \right \}\]
en polares
\[A=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\sqrt{2}}r drd\theta=\frac{\pi}{4}\]
T2) bla bla bla... componemos la funcion F para despues aplicar la definicion de derivada direccional , gradiente por versor porque la composicion hace que F sea diferenciable
\[F(g(x,y))=f(|x|,xy)\]
resulta entonces
\[F(x,y)=x^2+xy\]
de donde
\[\nabla F(0,1)=(1,0)\]
por definicion de derivada direccional
\[F'(0,1)=\nabla F(0,1)\cdot \hat r=(1,0).(0,4;0,6)=0,4\]
E1) de la parametrizacion sobre la superficie defino la funcion vectorial g
\[g:R^3\to R^2 /g(x,z)=(x,2-\sqrt{x^2+z^2},z)\]
por definicion
\[A=\iint_R ||g'_x\times g'_z ||dA\]
haciendo el producto vectorial
\[||g'_x\times g'_z ||=\sqrt{2}\]
la region R se define como
\[R:\left \{ x\in R^2 /x^2+z^2\leq 4 \right \}\]
sin pensar mucho
\[A=\sqrt{2}\iint_R dA=\sqrt{2}\dfrac{\pi R^2}{4}=\sqrt{2}\pi\]
E2) por definicion
\[M=\iiint \delta (x,y,z) dV\]
de donde
\[\delta (x,y,z)=k\sqrt{x^2+y^2}\]
para hallar el volumen utilizo una integral doble
\[M=\iint_{R}\left (\int_{0}^{y+4}k\sqrt{x^2+y^2}dz \right )dydx=k\iint_{R}\sqrt{x^2+y^2}(y+4) \right )dydx\]
R se define como
\[R=\left \{ x\in R^2 /x^2+y^2\leq 4 \right \}\]
tomando polares sobre R
\[M=k\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r^3\sin\theta+4r^2drd\theta=\left ( 4+\frac{16\pi}{3} \right )k\]
E3)
a) por definicion
\[\nabla f=0\to 2x(y+1)=0\quad x^2+2y-2=0\]
los candidatos a maximos minimos y puntos silla son
\[\quad A=(0,1)\quad B=(2,-1)\quad C=(-2,-1)\]
el hesiano es
\[H(x,y)=\begin{pmatrix}2y+2 & 2x\\\\ 2x & 2 \end{pmatrix}\]
creo que pueden concluir desde aca cual es maximo minimo o punto silla , solo es aplicar los criterios correspondientes
b) los puntos son de la forma
\[(x,y,f(x,y))\]
entonces solo hay que hacer
\[\\A'=(0,1,f(0,1))\\\\ B'=(-1,2,f(-2,-1))\quad C'=(-1,-2,f(2,-1))\]
E4) para que exista funcion potencial la matriz jacobiana debe ser simetrica y el dominio simplemente conexo , calculando la matriz jacobiana se observa que para que sea simetrica
necesariamente
\[g'(x)=g(x)\to y'=y\to \frac{dy}{dx}=y\to g(x)=Me^x\]
para hallar M usamos las condiciones iniciales dadas en el ejercicio
\[f(0,0,0)=(0,3,0)\to g(0)=3\]
luego la g que verifica lo pedido es
\[g(x)=3e^x\]
por definicion de funcion potencial
\[ f=\nabla\phi\to \phi(x,y,z)=3ye^x+y^2z+C\]
de la interseccion de las ecuaciones de las superfices obtenemos
\[4-z^2=2y\]
interseccion con el eje z implica que
\[z=0\quad y=2\quad x=0\]
interseccion con el eje y implica
\[y=0\quad z=2\quad x=0\]
los puntos son
\[A=(0,0,2)\quad B=(0,2,0)\]
si recorro la curva en sentido antihorario entonces
\[\phi(B)-\phi(A)=\phi(0,2,0)-\phi(0,0,2)=6\]
avisen si mande fruta en algun lado
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