UTNianos

Buenas gente, qué tal?
Tenía unas dudas sobre dos ejercicios de AM (sé que son muy básicos).

En uno me dan \[h(x) = -2x+1/-1+x \] y me piden plantear los conjuntos A y B tal que h(X) resulte biyectiva. Biyectiva sería cuando a cada elemento le corresponde una única imagen, no? Si mal no recuerdo las funciones de este tipo (como h) siempre son biyectivas, pero cómo debiera plantearlo? Escribir el dominio/imagen y listo?

En el otro que es sobre composición, me piden determinar g o f(x) si \[F(x)=x+1\] y \[G(x)= \sqrt{x-2}\]

Gracias de antemano!

Buenas!

Para que una funcion resulte biyectiva lo que tiene que ocurrir es que sea inyectiva (Cada punto del dominio tiene su imagen) y sobreyectiva (el codominio es igual a la imagen) a la vez... Para que sea inyectiva tenes que tener cuidado de no poner numeros en el dominio cuya imagen no existe (En este caso cuando x=1, denominador=0, no existe) y para que sea sobreyectiva tenes que hacer que el conjunto B (Codominio) sea igual a la imagen... Ojo! No toda funcion resulta siempre biyectiva ya que esto depende del dominio y codominio que le pongas...

En cuanto a la composicion de funciones, si bien no me acuerdo cuales eran los requisitos para componer te quedaria

Para la composición deberías restringir la imagen de f(x) porque g(x) solo acepta como dominio [2,+INF), osea, no me acuerdo muy bien si tenes que restringir la imagen de f(x) diciendo que va de R a [2,+INF) o si tenes que hacerlo en el dominio también que sería [1,+INF) para que la imagen sea la que queramos.

No se si me expliqué bien

Buenas!
Como dijeron arriba, para que una funcion sea biyectiva debe ser inyectiva y sobreyectiva a la vez. Las definiciones serian las siguientes:
Inyectiva: A cada valor del dominio le corresponde un unico valor del co-dominio (hasta ahi es la definicion de funcion) y ese valor del co-dominio (al que ya le podriamos llamar Imagen) le corresponde solo a ese valor del dominio. O sea, si en el dominio estan los hombres y en la imagen las mujeres (considerando a todos heteros ) cada hombre tendria una mujer, y no habria infidelidad por parte de ellas.

Sobreyectiva: Cada elemento del co-dominio es imagen de un elemento del dominio. Seria como la definicion de funcion, pero del Co-dominio al dominio. En el ejemplo anterior correspoderia a que todas las mujeres tienen pareja tambien. (el ejemplo anterior no decia nada de eso, solo aseguraba las parejas de los hombres, pero podian quedar mujeres "colgadas")

O sea en resumen. Funcion biyectiva? Cada hombre (dominio) tiene su mujer (imagen) y no hay nadie solo, ni cornudo.

En la funcion que mencionas, que es una funcion homográfica (un cociente entre 2 funciones lineales no proporcionales), siempre, para que sea biyectiva, el dominio son todos los reales menos un numero, y la imagen tambien. Ojo, no es para que lo hagas mecanico, solo que si miras el grafico tienen una asintota vertical y una horizontal (Siempre son asi) Por lo tanto, en el dominio tenes que excluir el valor que no tiene imagen, o sea, el que anula el denominador. Y del codominio tenes que excluir el valor que no es imagen de nadie (la asintota horizontal), que se calcula obteniendo el limite cuando x tiende a infinito (que en este caso, mas facil, es el cociente entre los coeficientes principales de los polinomios).

En tu ejercicio, el dominio serian todos los reales, excepto el 1, y la imagen serian todos los reales, excepto el -2. Solo en esas condiciones se da la biyectividad.

En el otro ejercicio, siempre que tengas una composicion de funciones lo podes pensar asi.

F o G (x) = F (G(x))

Si, "Efe de Ge de x", suena exraño pero es sencillo.
Si F(x)= x + 1

F(G(x)) = G(x) +1

Ves? lo unico que cambio es que, en vez de escribir "x" escribo "G(x)", y como conozco a G(x) lo reemplazo y me queda:

F o G (x) = F (G (x)) = (raiz(x-2)) +1

Espero te sirva. Saludos.

Biyectiva es que cuando escribis la funcion pones que va del dominio D a la imagen en vez de al codominio, ademas tiene que ser inyectiva, h es una homografica asi que es inyectiva