UTNianos

Hola!!

Tengo una duda,

Tengo entendido que la masa de un volumen se calcula como:

M = \[\int \int \int \] \[\gamma \] (x,y,z) dx dy dz

\[\gamma \] (x,y,z) es la densidad y generalmente es dato

Pero despues nos enseñaron Integral de Superficie de un Campo Escalar

\[\int \int \] G(x,y,f(x,y)) (|| ∇ F || / |F´z|) dx dy

y vi en un ejercicio que calculan Masa con Integral de Superficie de un Campo Escalar.

no entiendo!

CREO QUE YA ENTENDI

cuando es una masa de una "chapa" en R2 se usa
\[\int \int \gamma (x,y)dx dy\]

cuando es masa de un volumen en R3 se usa
\[\int \int \int \gamma (x,y,z)dx dy dz\]

y cuando es una "chapa doblada" en R3 es decir una superficie de un campo escalar se usa
\[\int \int \gamma (x,y,f(x,y)) (\left \| \varphi F(x,y,z) \right \|/|Fz|) dx dy\]

siendo
\[\varphi F(x,y,z) \]
el gradiente de F porque no encotraba simbolo ∇...

Ejemplo #1

Desidad
D(x,y,z) = kx

Cuerpo H
y = x
y = 2x
x + y+ z = 6
z = 0

MASA DEL CUERPO H = k [ \[\int_{0}^{2}xdx \int_{x}^{2x}dy\int_{0}^{6-x-y}dz + \int_{2}^{3}xdx\int_{x}^{6-x}dy\int_{0}^{6-x-y}dz\] ]

Ejemplo #2

Desidad
D(x,y,z) = k(x+y)

"Chapa" H
x >= 0
1 <= z <= 4
\[z = x^{2} + y^{2}\]

MASA DEL CHAPA H = \[\int \int k(x+y)(\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+1}/|-1|)dxdy\]

luego se pasa a coordenadas cilindricas y queda que:
-π/2 <= θ <= +π/2
1 <= r <=2

ES OK LO QUE DIGO ??

Desde ya gracias!