UTNianos

Gente les traigo el primer parcial de probabilidad de la profesora Maria Cecilia Gomez, no se olviden de darle Thanks! si les sirvio
Por favor comenten la resolución de los puntos que están mal en el parcial que subí resuelto

Consignas:

Parte A:

Parte B:

Hola!

Antes que nada gracias por el aporte, y segundo felicitaciones por aprobar .

Off-topic:

Me ganaste de mano el post

Adjunto mi resolución mas abajo. Solo tuve regular un teórico.


Ejercicio 1

\[X: duracion \ de \ un \ laser \ en \ horas\]

\[E(X)= 7000 \ horas\]

\[\sigma (X) = 20 \ horas\]

\[X \sim N(7000,20)\]

a)

\[P(fallar \ entre \ 6968 \ y \ 7038)= 1-P(6968 \leq X \leq 7038)\]

\[P(fallar \ entre \ 6968 \ y \ 7038)= 1-P(\frac{6968-7000}{20}\leq Z \leq \frac{7038-7000}{20})\]

\[P(fallar \ entre \ 6968 \ y \ 7038)= 1-P(-1.6\leq Z \leq 1.9)\]

\[P(fallar \ entre \ 6968 \ y \ 7038)= 1-(F_{Z}(1.9) - F_{Z}(-1.6))\]

Y por tabla:

\[P(fallar \ entre \ 6968 \ y \ 7038)= 1-(0.9713- 0.0548) = \mathbf{0.0835}\]

b)

\[X_{s}:Duración \ en \ horas \ superada \ por \ el \ 95 \ por \ ciento \ de \ los \ laseres\]

El valor de Xs es tal que me acumula el 5% de probabilidad.

\[P(Z<\frac{X_{s}-7000}{20}) = 0.05\]

Por tabla,

\[Z = -1.64\]

Entonces despejando,

\[X_{s}= -1.64. 20+7000=\mathbf{6967.2 \ Horas}\]

c)

\[P(X > 7038) = P(Z> \frac{7038-7000}{20}) = P(Z>1.9)\]

\[P(X > 7038) = P(Z>1.9) = 1 - F_{Z}(1.9)\]

Y por tabla,

\[P(X > 7038) = P(Z>1.9) = 1 - F_{Z}(1.9) = 1-0.9713=0.0287\]


Si hay 5 láseres, n=5. Siendo XL la cantidad de láseres que duran más de 7038 Horas y p= 0.0287.

\[P(X=3) = \binom{5}{3}.(0.0287)^{3}.(1-0.0287)^{5-3} = \mathbf{2.23 .10^{-4}}\]

d)

Siendo,

\[p(x) = \binom{n}{x}.p^{x}.(1-p)^{n-x}\]

Con n = 5,

Armamos el cuadro de probabilidades:

\[P(X=0) = 0.8641 \]

\[P(X=1) = 0.1277\]

\[P(X=2) = 7.54 .10^{-3} \]

\[P(X=3) = 2.2 .10^{-4}\]

\[P(X=4) = 3.2 .10^{-6}\]

\[P(X=5) = 1.9 .10^{-8} \]

Entonces,

\[E(X) = \sum x.p(x) = \mathbf{0.1434}\]

\[E(X^{2}) = \sum x^{2}.p(x) = 0.1597\]

\[V(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X) = 0.1391\]

\[\sigma (X)= \sqrt{V(X)} = \mathbf{0.3730}\]

(Esto se puede corroborar usando la calculadora en modo estadístico)


Ejercicio 2

a)

Para que sea función de densidad:

\[\int_{-\infty }^{+\infty }f(x).dx = 1\]

Entonces,

\[\int_{0}^{4}(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}x).dx = 1\]

Cumple! (Verificar con calculadora o hacer la integral)

Además, f(x) es positiva para todo X perteneciente al intervalo comprendido entres 0 y 4.

b)

\[E(X) = \int_{-\infty }^{+ \infty }x.f(x).dx\]

\[E(X) = \int_{0}^{4 }x.(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}x).dx = \mathbf{\frac{4}{3}}\]

Además,

\[E(X^{2}) = \int_{-\infty }^{+ \infty }x^{2}.f(x).dx\]

\[E(X^{2}) = \int_{0}^{4 }x^{2}.(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}x).dx = \frac{8}{3}\]

Entonces finalmente,

\[V(X) = E(X^{2})-E^{2}(X) = \frac{8}{3}-(\frac{4}{3})^{2} = \mathbf{\frac{8}{9}}\]

c)

\[Y=500-2X\]

\[E(Y) = E(500-2X) = E(500)-E(2X) = 500 -2.E(X)\]

\[E(Y) = 500-2.\frac{4}{3} = \mathbf{497.33}\]

Para la varianza,

\[V(Y) = V(500-2X) = (-2)^{2}.V(X) = 4.\frac{8}{9}\]

\[V(Y) = \frac{32}{9}\]

Luego,

\[\sigma (Y) = \sqrt{V(Y)} = \mathbf{1.88}\]


Ejercicio 3

\[CO: habitaciones \ comunes\]

\[TI : terapia \ intensiva\]

\[CL: clinicos\]

\[Q: quirurgicos\]


Del enunciado:

\[P(Q) = 0.7 \ \ \ y \ \ \ P(CL)=0.3\]

\[P(CO/Q) = 0.4\]

\[P(CO/CL) = 0.6\]

a)

\[P(CO\cap Q) = P(Q).P(CO/Q) = (0.7).(0.4) = \mathbf{0.28}\]

b)

\[P(Q/CO) = \frac{P(CO/Q).P(Q))}{P(CO/Q).P(Q)+P(CO/CL).P(CL)}\]

\[P(Q/CO) = \frac{(0.4).(0.7)}{(0.4).(0.7)+(0.6).(0.3)} = \mathbf{0.6087}\]


Ejercicio 4

\[X: piezas \ electricas \ que \ fallan\]

\[\lambda : 2 \ fallas / semana\]

a)

\[t: 3 \ semanas \ \ \ y \ \ \ \lambda .t = \mu = 6\]

\[P(X>2) = 1-F_{X}(2)\]

Y por tabla,

\[P(X>2) = 1-0.0620 = \mathbf{0.938}\]

b)

Defino un evento, E:transcurran mas de dos semanas hasta que falle una

\[P(E) = P(X=0\ , \ t=2) = \frac{e^{-2.2}.(2.2)^{0}}{0!} = \mathbf{0.0183}\]