Buenas, esta vez les comparto el 1er recuperatorio del 2ndo parcial de AM2 de Marcos Solá, como pueden ver es un 2ndo parcial completo que solo pidió que se resolviera la parte práctica.
Lo subo porque he notado que hay pocos parciales de él dando vueltas en el foro. Espero les sirva!
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Ese rec es el que tomo el mierc a la noche , gracias por tu aporte , a proposito como te fue ??
Aprobé! Saqué un digno 5! Así que ahora mentalizándome para el final.
Gente, estoy intentando resolver el P3.
\[M = \int \int \int \delta (x,y,z) dx dy dz\]
Siendo:
\[\delta (x,y,z) = k \sqrt{x^{2}+y^{2}}\]
Estoy teniendo problemas para plantear los límites de integración...
¿Alguien me puede dar una mano?
Gracias.
hola gracias por el aporte el resuelto lo tendras?
ME QUIERO MATAR LO HICE COMO SI HUBIESE PEDIDO LA DISTANCIA EN EL EL PUNTO Y EL PLANO XY EN EL P3 DIOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH PARA QUE MIERDA ENTRE ACA
Los limites de integracion hice cambio de coordenadas a polares y la Z te lo dice ahi entre q y q va, nada mas q reemplace los valores por los que van en polares.
me quedo como un conito de helado el volumen
P1.
\[\omega: z=1+\sqrt{x^{2}+y^{2}} \wedge 2\leq z\leq 5\]
\[z=1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]
\[z=2\]
\[x^{2}+y^{2}=1\]
\[z=1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]
\[z=5\]
\[x^{2}+y^{2}=16\]
\[Dxy:\]
\[1\leq x^{2}+y^{2}\leq 16\]
\[1\leq \rho ^{2}\leq 16\]
\[1\leq \rho\leq 4\]
\[0\leq \theta \leq 2\pi \]
\[\left | J \right |=\rho\]
\[F (x,y,z) = 0\]
\[z-1=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]
\[(z-1)^{2}=x^{2}+y^{2}\]
\[x^{2}+y^{2} - (z-1)^{2}=0\]
\[\overline{\triangledown} F=(\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial z})\]
\[\overline{\triangledown} F=(2x,2y,-2(z-1))\]
\[\left \|\overline{\triangledown} F \right \| =\sqrt{(2x)^{2}+(2y)^{2}+(-2(z-1))^{2}}\]
\[\left \|\overline{\triangledown} F \right \| =\sqrt{4x^{2}+4y^{2}+4(z-1)^{2}}\]
\[\left \|\overline{\triangledown} F \right \| =2\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}}\]
\[\left | F'{z} \right |=\left | -2(z-1)\right |=2\left | z-1 \right |\]
\[\omega = \int \int _{Dxy}\frac{\left \|\overline{\triangledown} F \right \|}{\left | F'{z} \right |}dxdy\]
\[\omega = \int \int _{Dxy}\frac{2\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}}}{2\left | z-1 \right |}dxdy\]
\[\omega = \int \int _{Dxy}\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+x^{2}+x^{2}}}{\left | \sqrt {x^{2}+y^{2}} \right |}dxdy\]
\[\omega = \int \int _{Dxy}\frac{\sqrt{2(x^{2}+x^{2})}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}} }dxdy\]
\[\omega = \sqrt{2}\int \int _{Dxy}dxdy\]
\[\omega = \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi }(\int_{1}^{4}\rho d\rho)d\theta\]
\[\omega = \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi }\left [\frac{\rho ^{2}}{2} \right ]_{1}^{4}d\theta\]
\[\omega = \sqrt{2}(8-\frac{1}{2})(2\pi -0)\]
\[\omega = 15\sqrt{2}\pi\]
P1 otra forma es tomar
\[g:R^2\to R^3/g(r,t)=(r\cos t,r\sin t,1+r)\]
\[A=\iint ||g'_t\times g'r||drdt=\iint\sqrt2 rdrdt\]
luego
\[2<1+r<5\to 1<r<4\]
no hay restricciones angulares entonces
\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{4}\sqrt2 rdrdt=15\sqrt2 \pi\]
P2. (El ejercicio 149 de la página 328 del Flax es muy similar)
\[\overline{f}(x,y,z)=(y+x^{2},x+y^{2},z+2)\]
\[x+y+z=2\]
\[x^{2}+y^{2}=2x\rightarrow x^{2}-2x+y^{2}=0\rightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}=1\rightarrow (x-1)^{2}+y^{2}=1\]
\[x^{2}+y^{2}=2x\rightarrow \rho ^{2} =2\rho cos\theta \rightarrow \rho =2cos\theta \rightarrow 0\leq \rho \leq 2 cos\theta \]
\[F (x,y,z)=0\]
\[x+y+z-2=0\]
\[\overline{\triangledown}F=(\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial z})\]
\[\overline{\triangledown}F=(1,1,1)\]
\[\left \|\overline{\triangledown}F \right \|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}\]
\[\breve{n}=\frac{\overline{\triangledown}F}{\left \|\overline{\triangledown} F \right \|}\]
\[\breve{n}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\]
\[\Phi _{F}=\int \int _{F}\overline{f}.\breve{n}.d\sigma \]
\[\Phi _{F}=\int \int _{F} (y+x^{2},x+y^{2},z+2)(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})d\sigma \]
\[\Phi _{F}=\int \int _{F} (y+x^{2},x+y^{2},z+2)(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\frac{dxdy}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\]
\[\Phi _{F}=\int \int _{F} (y+x^{2}+x+y^{2}+z+2)dxdy\]
\[\Phi _{F}=\int \int _{F} (x+y+x^{2}+y^{2}+(2-x-y)+2)dxdy\]
\[\Phi _{F}=\int \int _{F} (x^{2}+y^{2}+4)dxdy\]
\[\Phi _{F}=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\int_{0}^{2cos\theta} (\rho ^{2}+4)d\rho)d\theta \]
\[\Phi _{F}=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left [ (\frac{\rho ^{3}}{3}+4\rho) \right ]_{0}^{2cos\theta}d\theta\]
\[\Phi _{F}=\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\frac{8}{3}cos^{3}\theta+8cos\theta-0)d\theta\]
\[\Phi _{F}=\left [\frac{8}{3}(sen\theta- \frac{sen^{3}\theta}{3})+8sen\theta \right ]_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\]
\[\Phi _{F}={\frac{56}{3}}\]
(24-11-2016 13:47)Saga escribió: [ -> ]P1 otra forma es tomar
\[g:R^2\to R^3/g(r,t)=(r\cos t,r\sin t,1+r)\]
\[A=\iint ||g'_t\times g'r||drdt=\iint\sqrt2 rdrdt\]
luego
\[2<1+r<5\to 1<r<4\]
no hay restricciones angulares entonces
\[A=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\sqrt2 rdrdt=15\sqrt2 \pi\]
Bárbaro
Saga, muchas gracias.
Lo único, fijate que 1<=r<=4 y en la integral dice 1<=r<= 2...
Saludos.
error de tipeo jeje gracias por corregir , y en el ej de flujo que hiciste no da cero jejej revisa los limites de integracion
No es nada... Lo mío no fue error de tipeo jaja...
Ahí lo corregí... Crería que ahora está bien...
Cualquier cosa, avisen.
Saludos.
Ahí lo corregí otra vez... En el Flax, habla de simetría de la superficie respecto del plano xz y de la proyección respecto de x.
Para mí, es así... Cualquier cosa, avisen por favor.
Saludos.