Hola!
Estoy estudiando para rendir recu del segundo parcial de álgebra, y el tema transformaciones lineales me cuesta bastante entenderlo.
Quería saber si alguien me puede ayudar con el siguiente ejercicio. Se que es muy simple, pero no me sale jaja
Gracias.
Saludos!
a) Definir, justificando, mediante la utilización de teoremas, propiedades, definiciones, etc, la existencia de una transformación lineal tal que:
T: R3 --> R3 tal que cumpla simultáneamente:
Nu (T) = { (x, y, z) ϵ R3 / x + y – z = 0 } y T(1,0,0) = (4,0,0)
b) Hallar una base B de autovectores de la Transformación lineal hallada en a) y la matriz de esa transformación en la base B.
Espero no haber llegado tarde. Te ayudo con lo que me acuerdo. Lo primero que hacer es sacar las bases del núcleo. Como vos habrás visto el nucleo son los vectores que luego aplicar la transformación dan el nulo de la imagen.
\[Nu (t) = [ (x,y,z) \varepsilon R^{3} / x + y - z = 0](x,y,z) \varepsilon R^{3} / x + y - z = 0]\]
\[x + y - z = 0 \]
\[x + y = z\]
Las bases son \[(1, 0, 1) y (0, 1,1)\]. Con eso verificas si esas dos bases y el vector que te dan el transformado son L.I para saber si son base \[\begin{vmatrix}1 &0 &1 \\ 1 &0 &0 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix} = -1 \] por lo tanto son L.I (osea que son base).
T(1,0,1)=(0,0,0)
T(0,1,1)=(0,0,0)
T(1,0,0)=(4,0,0)
Haces una combinacion lineal:
\[(x,y,z) = \alpha _{1} . (1,0,1) + \alpha _{2} . (0,1,1) + \alpha _{3} (1,0,0)\]
\[(x,y,z) = (\alpha _{1}+\alpha _{3}, \alpha _{2}, \alpha _{1}+\alpha _{2})\]
Despejas de ahi y te queda que:
\[\alpha _{1} = z-y\]
\[\alpha _{2} = y\]
\[\alpha _{3} = x+y-z\]
Remplazas en los alpha de arriba
\[T(x,y,z)= z -y.T(1,0,1) + y . T(0,1,1) + (x+y-z) . T(1,0,0)\]
\[T(x,y,z)= z -y.T(0,0,0) + y . T(0,0,0) + (x+y-z) . T(4,0,0)\]
\[T(x,y,z)= (4x+4y-4z,0,0)\] y esa seria la Transformacion.
Espero no equivocarme, ya paso el verano y me olvide algunas cosas porque la promocione en noviembre jajaja
(15-02-2016 13:58)Arielb escribió: [ -> ]Espero no haber llegado tarde. Te ayudo con lo que me acuerdo. Lo primero que hacer es sacar las bases del núcleo. Como vos habrás visto el nucleo son los vectores que luego aplicar la transformación dan el nulo de la imagen.
\[Nu (t) = [ (x,y,z) \varepsilon R^{3} / x + y - z = 0](x,y,z) \varepsilon R^{3} / x + y - z = 0]\]
\[x + y - z = 0 \]
\[x + y = z\]
Las bases son \[(1, 0, 1) y (0, 1,1)\]. Con eso verificas si esas dos bases y el vector que te dan el transformado son L.I para saber si son base \[\begin{vmatrix}1 &0 &1 \\ 1 &0 &0 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix} = -1 \] por lo tanto son L.I (osea que son base).
T(1,0,1)=(0,0,0)
T(0,1,1)=(0,0,0)
T(1,0,0)=(4,0,0)
Haces una combinacion lineal:
\[(x,y,z) = \alpha _{1} . (1,0,1) + \alpha _{2} . (0,1,1) + \alpha _{3} (1,0,0)\]
\[(x,y,z) = (\alpha _{1}+\alpha _{3}, \alpha _{2}, \alpha _{1}+\alpha _{2})\]
Despejas de ahi y te queda que:
\[\alpha _{1} = z-y\]
\[\alpha _{2} = y\]
\[\alpha _{3} = x+y-z\]
Remplazas en los alpha de arriba
\[T(x,y,z)= z -y.T(1,0,1) + y . T(0,1,1) + (x+y-z) . T(1,0,0)\]
\[T(x,y,z)= z -y.T(0,0,0) + y . T(0,0,0) + (x+y-z) . T(4,0,0)\]
\[T(x,y,z)= (4x+4y-4z,0,0)\] y esa seria la Transformacion.
Espero no equivocarme, ya paso el verano y me olvide algunas cosas porque la promocione en noviembre jajaja
Mil gracias!
Lo hice de esa manera y me dió lo mismo
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Gracias crack! Rindo este miércoles.
Saludos