UTNianos

Les dejo el final,

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Buenas! Dejo mis resoluciones.

T1) La divergencia del campo es 0, así que el flujo de ese campo a través de cualquier superficie cerrada va a ser cero. Me invento una superficie cerrada que sea esa media esfera con la "tapa" que sería la circunferencia en z=0 y planteo que el flujo total va a ser cero, o sea que la suma de los flujos va a ser cero. Por lo tanto el flujo de la "tapa" es menos el flujo a través de la media esfera. Ese flujo a través de la tapa entonces es -12. Peeeero ese flujo -12 es con normal hacia -z (para usar el teorema de Gauss las normales tienen que ser salientes a la sup cerrada) y a mí me piden el flujo con la normal apuntando a +z, por lo que finalmente el flujo que me piden es 12.

E1) Reemplazo z= 2+x+y en F(x,y,z) y me queda f(x,y). Igualando a cero las derivadas parciales de f(x,y) encuentro los ptos críticos, a mí me dieron (0,0), (-1,-1/2) y (4,-8). Planteo el Hessiano para cada punto. f(0,0) me dio mínimo y los otros dos punto silla.

E2) La intersección de esas dos superficies me quedó una elipse x^2 / 4 + y^2 = 1 a la altura z= 4 . Circulé la curva en sentido antihorario para usar el teorema de Stokes. Encontré la circulación de esa curva como el flujo del rotor de ese campo a través del plano z=4, la curva C es frontera de él. (la normal la tomé (0,0,1) porque como circulé la curva en sentido antihorario, por la regla de la mano derecha, la normal tiene que ir hacia arriba). me dio 8*pi

E4) Reemplacé u=y' , me quedó de variables separables. Cuando encontré u, integré para encontrar y. Las condiciones son y(0)=-1 e y'(0) = 6. No me acuerdo cuánto me dio. Si alguien quiere mañana con tiempo lo vuelvo a hacer.


el 3 no lo hice y me saqué un 8. Así que supongo que todo lo que hice está bien. Cualquier cosa que alguien me corrija.

Saludos!!

Dejo las respuestas que faltan sacadas del blog de Damian (https://analisis2.wordpress.com/2016/03/...-29022016/):

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Gente,
Tengo una consulta muy pava que no estoy pudiendo encontrar dentro del E2):

Por intersección de superficies, la curva esta dada sobre z=4, y planteando stokes me queda:

rot f(x,y,z) = (-x,0,z)

Aplicando la integral:
(aca reemplazo la z, por el 4, ya que estoy integrando en funcion de x e y).
\[\int \int (-x,0,4).(0,0,1) dx dy\] circulando la curva en sentido antihorario (por eso la normal positiva).

Resolviendo esta integral me da \[16 \pi\]

Se que estoy pifiando en una pavada pero no encuentro el error, alguno me puede dar una mano?

el error debe estar en el jacobiano de del cambio de coordenadas

(05-07-2016 14:29)Saga escribió: [ -> ]el error debe estar en el jacobiano de del cambio de coordenadas

Gracias Saga por tu respuesta. El tema es que me queda la integral doble de 4. Saco afuera el 4 de la integral y me queda la integral doble de 1 dxdy.

\[\int \int 4 dxdy\]

Al ser una elipse la superficie con a= 4 , b = 1, el area me da: \[4\pi \]

por lo tanto:
\[\varphi = 4.4 \pi = 16 \pi\]


La intersección de superficies me quedo:

\[1 = \frac{x^{2}}{4}+y^{2}\]

a mi me da 8pi, tenes que resolver la integral , (en coordenadas elipticas )

\[W=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}4\cdot 2rdrd\theta=8\pi\]

a=2 no 4 como te dije , el error estaba en el jacobiano

Pregunta, sovre el tema de las normales, veo que siempre se toma (0,0,1) (0,1,0) dependiendo de donde se proyecte.
Si tomo el de la superficie ¿seria el de la interseccion donde se recorre la curva no?
solo sirve para circulacion?

(10-07-2016 13:26)apu87 escribió: [ -> ]Pregunta, sovre el tema de las normales, veo que siempre se toma (0,0,1) (0,1,0) dependiendo de donde se proyecte.
Si tomo el de la superficie ¿seria el de la interseccion donde se recorre la curva no?
solo sirve para circulacion?

Hola!
Dependiendo del ejercicio, siempre se trata de tomar una superficie o plano con una normal conveniente.
Generalmente los de circulación los proyectas a un plano, entonces te queda como bien decis, ya que las intersecciones al proyectarlas suelen ser circunferencias o elipses.
En flujo también se utiliza, así como en Área. Por ejemplo si tenés que poner una "tapa" para utilizar divergencia, uno siempre trata que esta "tapa" sea un plano (con las normales unitarias) antes que una superficie más difícil de resolver. De igual forma, en área se proyecta la superficie dada en algún plano y, dependiendo del plano tomado, se utiliza una normal u otra.

Igualmente yo hablo solo desde la práctica, los fundamentos teóricos mejor que alguien que sepa los de.

Hola, espero que alguien pueda darme una mano:

En el T1) No entiendo como justificar que da 12. Basandome en que la segunda superficie que te dan el flujo es 12, entonces la primera es 12? Al reemplazar la superficie con su limitación llego a la misma expresión de la primera superficie, esta bien eso?

En el E1) Cómo es el reemplazo de Z en la función? Cómo queda f(x,y) y cómo encuentro sus puntos criticos? Porque solo encuentro el (0,0).

En el E3) Por qué despues de pasar a coordenadas, la primer integral va desde 1/4pi a 5/4pi ?? De donde sale eso?


Desde ya muchas gracias al que me pueda responder algo

Lo deje resuelto aca

no estaria viendo en t1) la "semiesfera" de la que hablan más arriba (superficie z=(4-x^2-y^2)^1/2 con x^2+y^2<=4), si hago la interseccion de la esfera y el plano limitado veo que sigue tratándose de la esfera pero esta vez "macisa", puede ser??

Es una semiesfera porque te dan la ecuacion explicita de la misma tomando solo la parte positiva de la raiz , por ende solo quieren que calcules el flujo a travez de esa parte superior

entiendo que z no puede adoptar valores negativos cuando esta expresada como raiz pero acaso no es lo mismo que pasar la raiz para el otro lado quedándome z^2=4-x^2-y^2 y es ahi donde digo, se trata de una esfera?

acabo de consultar con wolfram forma1
forma2 y sigo sin entenderlo jaja

Poder podes, considerando que

\[x^2+y^2+z^2=4\]

sin olvidarte la restriccion que

\[z\geq 0\]

te sigue quedando media esfera que corresponde a la forma 2 de wolfram