29-03-2016, 00:18
Estimados, estoy volviendo a cursar materias despues de algun tiempo, en estos momentos estoy con AM II y un tanto oxidado por lo que agradezco a quien pueda darme una mano con el ejercicio 11 del TP 1 de la guia de AM II 2016.
El ejercicio dice asi, de forma resumida:
Hallar la familia de curvas tal que su recta normal en cada punto sea tangente a la parabola que pasa por dicho punto. Hallar la curva que pasa por (0,1).
Ecuacion de la parabola: \[y=kx^{2}\]
Les paso a mostrar lo que hice y hasta donde llegue a ver en que le pifie o que cosa encare mal:
Primero derivo la ecuacion de la parabola:
\[y=kx^{2}\]
\[y'=2kx\]
Despejo k, entonces me queda:
\[y/x^{2}=k\]
Con eso armo la ecuacion diferencial:
\[y'=(2y)/x\]
La normal es la derivada pero invertida:
\[-\frac{1}{y'}=-\frac{x}{2y}\]
Con esto ultimo planteo que la recta normal que me va a permitir llegar a mi curva seria de la siguiente manera:
\[(y-_{Y0})=-\frac{1}{y'}(x-_{X0})\]
Tomando que el punto es (0,1) y que -1/y' es lo que calcule antes:
\[(y-1)=-\frac{x}{2y}x\]
Juntando las x y pasando 2y para el otro lado llego a esto:
\[2y^{2}-2y=-x^{2}\]
Acomodando un poco para parecerme al resultado de la guia llego a esto:
\[x^{2}+2y^{2}=2y\]
Y aca es donde me estoy rompiendo la cabeza porque no logro ver que esta mal.
En la guia el resultado es: \[x^{2}+2y^{2}=2\]
Si alguien lo hizo y ve que esta mal le agradezco la mano.
Saludos
Flavio
El ejercicio dice asi, de forma resumida:
Hallar la familia de curvas tal que su recta normal en cada punto sea tangente a la parabola que pasa por dicho punto. Hallar la curva que pasa por (0,1).
Ecuacion de la parabola: \[y=kx^{2}\]
Les paso a mostrar lo que hice y hasta donde llegue a ver en que le pifie o que cosa encare mal:
Primero derivo la ecuacion de la parabola:
\[y=kx^{2}\]
\[y'=2kx\]
Despejo k, entonces me queda:
\[y/x^{2}=k\]
Con eso armo la ecuacion diferencial:
\[y'=(2y)/x\]
La normal es la derivada pero invertida:
\[-\frac{1}{y'}=-\frac{x}{2y}\]
Con esto ultimo planteo que la recta normal que me va a permitir llegar a mi curva seria de la siguiente manera:
\[(y-_{Y0})=-\frac{1}{y'}(x-_{X0})\]
Tomando que el punto es (0,1) y que -1/y' es lo que calcule antes:
\[(y-1)=-\frac{x}{2y}x\]
Juntando las x y pasando 2y para el otro lado llego a esto:
\[2y^{2}-2y=-x^{2}\]
Acomodando un poco para parecerme al resultado de la guia llego a esto:
\[x^{2}+2y^{2}=2y\]
Y aca es donde me estoy rompiendo la cabeza porque no logro ver que esta mal.
En la guia el resultado es: \[x^{2}+2y^{2}=2\]
Si alguien lo hizo y ve que esta mal le agradezco la mano.
Saludos
Flavio