UTNianos

Buenas a todos! Tengo una duda con un ejercicio que no puedo resolver y no se me ocurre nada.

-.) Usar el Teorema Fundamental del Cálculo para mostrar que la función h: (0,+infinito) -> R dada por h(x) = \[\int_{0}^{ln(x)}\] \[e^{t}\] / (\[t^{2}\] +1) dt tiene exactamente un cero. ¿Cual es el cero?

Les comento: Lo único que se me ocurrió fue derivar la función integral h(x) y me quedó que h'(x) = [[tex]e^{ln(x)} / ((ln(x))^2 +1)] *(1/x)

De esta forme logré observar que la función integral es siempre creciente (por su derivada >0 en el intervalo (0,+infinito)) Por lo que si cortara al eje x, sólo lo haría una vez.

Mi duda es: ¿Hay puedo hacer Bolzano con esta función? Es decir, me gustaría saber algún x de la función para el que h(x) sea negativa y otro para el que h(x) sea positiva y así lograría completar el ejercicio. Pero no encuentro una forma de verificar teniendo en cuenta no podría integrar la función dado que no tengo las herramientas todavía.

¿Alguna ayuda por ahí?

Gracias de antemano

*Ahí puedo...

\[h'(x) =\frac{x}{ln^2(x)+1}*\frac{1 }{x}= \frac{1}{ln^2(x)+1}\]



En el intervalo (0,+inf) la derivada es positiva, nunca se anula, por lo tanto se puede decir que la función es monotona creciente, o sea que si pasa por 0 lo hace solo una vez porque no vuelve a pegar una vuelta.

Ahora cuál es ese cero?

Cuándo \[h(x)=0??\]

Y... Hace que los limites de integracion coincidan.
\[\int_{a}^{a}f(x)dx=0\]

\[ln(x) = 0\]
\[x = 1\]

y es un unico cero.

Saludos

Muchas gracias!
Tiene mucho sentido lo que decís, y además se justifica fácilmente.
Además de poder justificarlo de esta manera (que va y es elegante), se que ví por algún lado algo así como evaluar la integral en dos puntos de x y tener dos puntos de de h(x), uno en el cual la función es positiva y en otro negativa. ¿Tenés idea de como se puede evaluar de esa forma? No es que esté encascado con resolverlo de esa manera jaja pero también para tener otra forma de verlo. Además de que no me queda claro eso de "evaluar" en la integral y para ver si puedo entenderlo.

Saludos y gracias!

para hallar las imagenes de puntos tendrías que resolver la integral, y no creo que el ejercicio apunte a eso.

por ejemplo... esto empieza en 0, pero no está incluido en el dominio.
podrías probar con 1/2 = 0,5

h(1/2) < 0 integral entre 0 y ln 1/2 de la expresión diferencial t.
h(2) > 0 integral entre 0 y ln 2 bla bla....

Con eso asegurarías que en el intervalo (1/2,2) Hay un cero, y como la funcion es monotona creciente existe solo uno.

Si la expresión fuera otra sería fácil.
En este caso el cero se hallaba facil
igualas la funcion a cero, o sea la integral a cero.
¿Cuándo la integral da cero?
Cuando no hay area , cuando el limite superior e inferior son iguales.

Saludos