Hola, que tal? Resolviendo la guia de discreta llegue a este ejercicio y la verdad no se como avanzar.
Dar los casos para los cuales la proposicion
\[\left ( q \Rightarrow \left [ \left ( \sim p\vee r \right )\wedge \sim s \right ] \right )\wedge \left [ \sim s\Rightarrow \left ( \sim r\wedge q \right ) \right ]\]
Lo que yo hice fue simplificar ambas partes del ^ y me quedo esto, pero la verdad ni idea si lo que hice esta bien
\[\left ( \sim q\vee \sim p\vee r \right ) \wedge \left ( \sim q\vee \sim s \right ) \wedge \left ( s\vee q \right ) \wedge \left ( s\vee \sim r \right )\]
Si alguien me podria dar una mano, gracias!
Hola! Bueno a ver, si la cosa es encontrar cuándo la proposición es cierta. Entonces veamos:
Si bien lo intuitivo es simplificar a disyunciones y conjunciones, a veces por ahí convenga usar otro método.
(q=>((-p v r)^ -s))^(-s=>(-r^q))
esto lo podemos modificar para que quede como una conjunción de condicionales:
(q=>(-p v r)) ^ (q=>-s)^(-s=>-r)^(-s=>q)
como tenemos un condicional q=>-s y su recíproco -s=>q podemos agruparlos en un bicondicional, quedando
(q=>(-p v r))^(q<=>-s)^(-s=>-r)
ahora, si el bicondicional (q<=>-s) es falso, entonces toda la proposición es falsa, por lo que podemos reducir la tabla de verdad y asumir que los casos donde q y -s no sean iguales son siempre falsos. Actuando sobre los casos donde el bicondicional es cierto, el condicional (-s=>-r) es igual al condicional (q=>-r), porque -s y q son equivalentes en los casos que estamos evaluando.
(q=>(-p v r))^(q<=>-s)^(q=>-r).
Podemos ahora agrupar los 2 condicionales porque tienen igual hipótesis (primer miembro).
(q=>((-pvr)^-r))^(q<=>-s)
ahora (-pvr)^-r es lo mismo que (-p^-r)v(r^-r), y como (r^-r) es contradicción en una disyunción, desaparece, quedando
(q=>(-p^-r))^(q<=>-s)
que es lo mismo que
(-qv(-p^-r))^(q<=>-s)
cambiamos el bicondicional a disyunciones y conjunciones
(-qv(-p^-r))^((q^-s)v(-q^s))
((-qv(-p^-r))^(q^-s)) v ((-qv(-p^-r))^(-q^s))
((-q^q^-s)v(-p^-r^q^-s)) v ((-q^-q^s)v(-p^-r^-q^s))
simplificamos redundancias y eliminamos contradicciones
(-p^-r^q^-s)v(-q^s)v(-p^-r^-q^s)
como uno de los miembros de la disyunción contiene a otro ((-q^s) está también en el tercer miembro), nos quedamos con el más simple
(-p^-r^q^-s)v(-q^s)
por lo tanto, la proposición es cierta sólo cuando, por un lado, q es igual a -s, y por el otro q es falso (-q es cierta), o p y r son falsos
p q r s
_ 0 _ 1
0 1 0 0
('_' significa 'cualquier cosa')