UTNianos

Les dejo el segundo parcial tomado por Hernandez el 22/11, si alguien puede dar una mano resolviendolo diez puntos, a mi me fue mal.

1) Hallar area de \[X^{2} + Z^{2} = 4\] con \[X + Y \leq 4 ; Y \geq X ; 1 oct\]
2) Flujo de \[(YZ;XY^{2}; Z^{2})\] a travez de la sup frontera de :
\[X^{2} + X^{2} \leq 8 ;Z \geq X ; 0 \leq Y \leq X\]

3) Circulacion de F= \[(YZ; e^{z}; e^{y})\] a travez de la curva C interseccion de \[y= X^{2} + Z^{2}\] y \[Y = 2Z \]

4) hallar solucion de \[Y'' + Y = X^{2}\] si la grafica de Y tienen recta normal Y - (x/2) = 1 en (0; Y0)

1) tomo

\[\vec{g}:R^2\to R^3/\vec{g}(y,t)=(2\cos t,y,2\sin t)\]

el area esta dada por

\[A=\iint ||g'_t\times g'_y||dydt=\iint 2 dydt\]

los limites van en funcion de g entonces

\[x+y\leq 4\to 2\cos t+y\leq 4\quad y\geq x\to y\geq 2\cos t\]

de donde

\[2\cos t \leq y\leq 4-2\cos t\quad 0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\]

finalmente

\[A=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{2\cos t}^{4-2\cos t} dydt=4(\pi-2)u^2\]

o en cartesianas

\[A=\int_{0}^{2}\int_{x}^{4-x}\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}dydx=4(\pi-2)u^2\]

---

3) la curva es de ecuaciones

\[C\left\{\begin{matrix}y=x^2+z^2\\y=2z \end{matrix}\right.\]

un sistema equivalente al dado haciendo las operaciones algebraicas necesarias es

\[C\left\{\begin{matrix}x^2+(z-1)^2=1\\y=2z \end{matrix}\right.\]

la curva es plana, cerrada , diferenciable suave a trozos, para definir la region R se recorre en sentido positivo , se cumplen las hipotesis del rotor, entonces

\[W=\oint_{C^+} f ds=\iint_R rot f \cdot ndA\]

\[n=(0,1,-2)\]

\[W=\iint_R rot f\cdot nds=\iint_R 3ydxdz=\iint_R 6z dxdz\]

tomando polares sobre R

\[\\x=r\cos \theta\\ z=1+r\sin \theta\]

\[6\iint_R z dxdz=6\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(1+r\sin\theta)rdrd\theta=6\pi\]

---

2 es solo aplicar divergencia ya que la superficie es cerrada , igual tipeaste mal la frontera \[x^2+x^2<8\]?

4 resolver la edo por coeficientes indeterminados