14-01-2017, 21:20
Buenas a todos, necesitaria si me pudieran explicar los siguientes 3 apartados (C,D,E) de como se resuelve paso a paso. Muchas gracias.[attachment=14758]
14-01-2017, 21:20
30-01-2017, 07:49
Buenas,
Estoy estudiando para AMI tanto como vos, así que por favor no tomes mis respuestas como sagradas jaja, puede haber errores.
c)formar f-1(x)
Esta es la función inversa de la dada.
Para que exista inversa se debe cumplir que la función original sea biyectiva.
Función original:
f(x)={ x^2-3 si x>=2 v x<=-2)
-x^2+5 si -2=<x=<2
Para que la función sea biyectiva:
Es inyectiva? Sí, ya que para todo X perteneciente al dominio de la función existen imágenes distintas.
Es sobreyectiva? No, ya que el codominio es el conjunto de los números reales, y la imágen es [1; +infinito). En otras palabras, el codominio es distinto de la imágen.
Por lo tanto, para que exista función inversa, debe acotarse el codominio a la imágen dada.
Función nueva:
f: |R -> [1; +infinito) / f(x)=.......
Ahora sí, hallar la inversa:
Para hallar la inversa simplemente se toma la función original, cambias LITERALMENTE las variables x e y de lugar y despejás y. Lo que te queda cuando despejás es la función inversa. Así:
y=x^2-3
x=y^2-3
x+3=y^2
sqrt(x+3)=|y| siendo sqrt(x) la raíz cuadrada
(1)y=sqrt(x+3) v (2)y=-sqrt(x+3)
(1) es la ecuación de la función inversa en el intervalo x>=2
(2) es la ecuación de la función inversa en el intervalo x<=-2
Por otro lado:
y=-x^2+5
x=-y^2+5
x-5=-y^2
-x+5=y^2
sqrt(-x+5)=|y|
(3)y=sqrt(-x+5) v (4)y=-sqrt(-x+5)
(3) es la ecuación de la función inversa en el intervalo 0<=x<=2
(4) es la ecuación de la función inversa en el intervalo -2<=x<=0
Con esas 4 ecuaciones armás la función inversa.
d)Graficar f y f-1
Para graficar f tenés que tener en cuenta los intervalos de cada una de las funciones
Tip: las funciones módulo jamás tienen una gráfica por debajo de y=0, a menos que haya una composición de funciones fuera del módulo que reste lo suficiente como para que existan pares ordenados negativos (que en este caso no los hay). Y también tener en cuenta que con solo dibujar las x negativas o positivas las otras no hace falta calcularlas, ya que la función módulo tiene la particularidad de presentar un "espejo" en su punto de simetría. Es decir que (en este caso) a partir de x=0 es lo mismo dibujar la función en su parte positiva como negativa. Espero haber sido claro jaja.
Para graficar f-1 son unas simples raíces cuadradas (podes guiarte buscando algún gráfico en google).
e)Dominio y Rango de f y f-1
(Según lo que busqué Rango = Imágen)
Dominio f: todas las x que pueden ser ingresadas para calcular y. Como no hay restricciones Dom:|R
Imágen f: Son los valores que devuelve la función una vez ingresado el valor de x. Como es módulo jamás habrá resultados negativos, y como el mínimo valor que puede haber es 1 entonces Im: [1; +infinito)
Dominio f-1: hay restricciones en el dominio ya que hay una raíz cuadrada. No se pueden calcular raíces cuadradas de números menores a 0. Haciendo los despejes correspondientes en las ecuaciones... Dom: [-3; 5]
Imágen f-1: Los valores que devuelve la función. En este caso Im: |R.
Espero haber sido claro y no haberme equivocado. Saludos!
Estoy estudiando para AMI tanto como vos, así que por favor no tomes mis respuestas como sagradas jaja, puede haber errores.
c)formar f-1(x)
Esta es la función inversa de la dada.
Para que exista inversa se debe cumplir que la función original sea biyectiva.
Función original:
f(x)={ x^2-3 si x>=2 v x<=-2)
-x^2+5 si -2=<x=<2
Para que la función sea biyectiva:
Es inyectiva? Sí, ya que para todo X perteneciente al dominio de la función existen imágenes distintas.
Es sobreyectiva? No, ya que el codominio es el conjunto de los números reales, y la imágen es [1; +infinito). En otras palabras, el codominio es distinto de la imágen.
Por lo tanto, para que exista función inversa, debe acotarse el codominio a la imágen dada.
Función nueva:
f: |R -> [1; +infinito) / f(x)=.......
Ahora sí, hallar la inversa:
Para hallar la inversa simplemente se toma la función original, cambias LITERALMENTE las variables x e y de lugar y despejás y. Lo que te queda cuando despejás es la función inversa. Así:
y=x^2-3
x=y^2-3
x+3=y^2
sqrt(x+3)=|y| siendo sqrt(x) la raíz cuadrada
(1)y=sqrt(x+3) v (2)y=-sqrt(x+3)
(1) es la ecuación de la función inversa en el intervalo x>=2
(2) es la ecuación de la función inversa en el intervalo x<=-2
Por otro lado:
y=-x^2+5
x=-y^2+5
x-5=-y^2
-x+5=y^2
sqrt(-x+5)=|y|
(3)y=sqrt(-x+5) v (4)y=-sqrt(-x+5)
(3) es la ecuación de la función inversa en el intervalo 0<=x<=2
(4) es la ecuación de la función inversa en el intervalo -2<=x<=0
Con esas 4 ecuaciones armás la función inversa.
d)Graficar f y f-1
Para graficar f tenés que tener en cuenta los intervalos de cada una de las funciones
Tip: las funciones módulo jamás tienen una gráfica por debajo de y=0, a menos que haya una composición de funciones fuera del módulo que reste lo suficiente como para que existan pares ordenados negativos (que en este caso no los hay). Y también tener en cuenta que con solo dibujar las x negativas o positivas las otras no hace falta calcularlas, ya que la función módulo tiene la particularidad de presentar un "espejo" en su punto de simetría. Es decir que (en este caso) a partir de x=0 es lo mismo dibujar la función en su parte positiva como negativa. Espero haber sido claro jaja.
Para graficar f-1 son unas simples raíces cuadradas (podes guiarte buscando algún gráfico en google).
e)Dominio y Rango de f y f-1
(Según lo que busqué Rango = Imágen)
Dominio f: todas las x que pueden ser ingresadas para calcular y. Como no hay restricciones Dom:|R
Imágen f: Son los valores que devuelve la función una vez ingresado el valor de x. Como es módulo jamás habrá resultados negativos, y como el mínimo valor que puede haber es 1 entonces Im: [1; +infinito)
Dominio f-1: hay restricciones en el dominio ya que hay una raíz cuadrada. No se pueden calcular raíces cuadradas de números menores a 0. Haciendo los despejes correspondientes en las ecuaciones... Dom: [-3; 5]
Imágen f-1: Los valores que devuelve la función. En este caso Im: |R.
Espero haber sido claro y no haberme equivocado. Saludos!